Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Suponha que o número de candidatos a participar em determinado curso seja uma v.a. cuja distribuição é uma Poisson com média de 4 inscrições. Se não houver um mínimo de 3 interessados o curso não será oferecido. Por outro lado, na sala há somente 5 computadores e, nas aulas, cada computador será utilizado por apenas um aluno. Calcule a probabilidade:

(a) de que haja mais interessados do que vagas;

(b) de que o curso não seja oferecido por escassez de inscrições (arredonde o resultado para 2 casas decimais);

(c) condicional de que todos os interessados consigam se inscrever dado que foi atingido o número mínimo de inscrições.

(d) de num ano em que houver 6 tentativas independentes de se oferecer este curso, em exatamente 2 delas o curso seja cancelado por escassez de inscrições.

Passo 1

Temos então:

X :     n º   d e   c a n d i d a t o s   a   p a r t i c i p a r

X ~ P o i s s o n ( 4 )

E temos que ter um número de candidatos de no mínimo 3 e no máximo 5 .

a)

Aqui temos que ter mais de 5 interessados, então:

P ( X > 5 )

Trabalhando com a complementar:

P X > = 1 - P X ≤ 5

= 1 - P X = 5 + P X = 4 + P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0

Lembrando a fórmula para o cálculo de probabilidades de uma Poisson, substituímos:

= 1 - e - 4 4 5 5 ! + e - 4 4 4 4 ! + e - 4 4 3 3 ! + e - 4 4 2 2 ! + e - 4 4 1 1 ! + e - 4 4 0 0 !

= 0,2149

Passo 2

b)

Para não ser oferecido por escassez, queremos:

P X < 3 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 )

Substituindo a fórmula da Poisson:

= e - 4 4 2 2 ! + e - 4 4 1 1 ! + e - 4 4 0 0 ! = 0,2381 ≈ 0,24

Passo 3

c)

Para todos conseguirem se inscrever precisamos que X ≤ 5 , e o mínimo de inscrições acontece quando X ≥ 3 , então essa condicional é:

P ( X ≤ 5 | X ≥ 3 )

Aplicando a fórmula da condicional:

P X ≤ 5 X ≥ 3 = P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) P ( X ≥ 3 )

Calculando essas probabilidades separadamente pela fórmula da Poisson:

P 3 ≤ X ≤ 5 = P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 = e - 4 4 3 3 ! + e - 4 4 4 4 ! + e - 4 4 5 5 ! = 0,547

P X ≥ 3 = 1 - P X < 3 = 1 - 0,2381 = 0,7619

Então a condicional fica:

P X ≤ 5 X ≥ 3 = 0,5470 0,7619 = 0,7179

Passo 4

d)

Agora vamos supor uma nova v.a.:

Y :     n º   d e   c u r s o s   r e a l i z a d o s   e n t r e   a s   6   t e n t a t i v a s

Interpretando toda vez que o curso for cancelado como um sucesso, vamos ter um experimento Binomial com 6 repetições e probabilidade p de sucesso igual a 0,24 (probabilidade de cancelamento por escassez). Então:

Y ~ B i n o m i a l ( 6 ; 0,24 )

E queremos saber:

P ( Y = 2 )

Usando a fórmula da Binomial:

P Y = 2 = n 2 p 2 1 - p n - 2 = 6 ! 2 ! 6 - 2 ! 0,24 2 0,76 4 = 0,2882

Resposta

a)

0,2149

b)

0,24

c)

0,7179

d)

0,2882

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