Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

Ver Teoria

Enunciado

Suponha que X i , i =   1 , … ,   50 , sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,03 . Faça S   =   X 1   + … +   X 50 . Observação: a soma de variáveis aleatórias de Poisson independentes tem distribuição de Poisson.

(b) Calcule o valor exato da probabilidade   P ( S ≥ 3 ) .

OBS: Aqui se trata de aproximar uma distribuição discreta por uma contínua. Então, da mesma forma como foi visto no caso da aproximação de Binomial por Normal, cabe usar uma correção de continuidade.

Passo 1

Letra b)

Agora ele tá pedindo o valor exato da probabilidade. Ou seja, não vamos poder usar aproximações, vamos ter que tratar S como a v.a. que ela é verdadeiramente, uma v.a. de Poisson, que nem falamos lá no item a):

S   ~   P o i s s o n 50 λ → S   ~   P o i s s o n 50 × 0,03 → S   ~   P o i s s o n ( 1,5 )

E queremos calcular:

P ( S ≥ 3 )

Usando a probabilidade complementar temos que:

P S ≥ 3 = 1 - P S < 3

E S ser menor do que 3 é a mesma coisa que S ser igual a 0, 1 ou 2. Então:

P S ≥ 3 = 1 - P S < 3 = 1 - P S = 0 + P S = 1 + P S = 2

Usando a fórmula do cálculo de probabilidades para Poisson, vamos calcular essas três probabilidades dentro dos parênteses:

P S = 0 = e - 1,5 1,5 0 0 ! = 0,2231

P S = 1 = e - 1,5 1,5 1 1 ! = 0,3347

P S = 2 = e - 1,5 1,5 2 2 ! = 0,2510

Substituindo esses resultados:

P S ≥ 3 = 1 - 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 1 - 0,8088 = 0,19115

Pronto, encontramos nossa probabilidade exata!

Resposta

Letra b)

0,19115

Exercícios de Livros Relacionados

O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora. a. Qual é a probabilidade de exatamente quatro pessoas cheg
Em um processo de Poisson, o que deve acontecer no intervalo de tempo (0,t) e no intervalo (t, t+ ∆ t ) para que nenhum evento ocorra em todo o intervalo (0, t+ ∆ t ) ? Use esta Hipótese e as Hipótese
Deduza a fórmula para a média e o desvio padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a +1,…, b.
Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores de certo tipo apresentem falhas de CPU durante o período de garantia. Considere uma amostra de 10.000 computadores. a. Qual é o valor esperado e o des
Falhas ocorrem no interior de plástico usado em automóveis, seguindo uma distribuição de população, com uma média de 0.02 falha por painel. Se 50 painéis foram de pressionados, qual será a probabilida