Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O pessoal de controle de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas a cada 50 metros é modelado por uma Poisson, calcule as probabilidades:

a) De ocorrerem pelo menos duas emendas em um rolo de 125 metros.

b) De ocorrer uma emenda em um rolo de 100 metros.

c) De ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 150 metros.

Passo 1

Bom! A gente sabe, pelo enunciado, que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros.

Ou seja! O número de emendas em 50 metros é modelado por uma Poisson com média de 1 emenda.

Isso significa que se a gente tiver uma v.a   X , que é dada por

X - n ú m e r o   d e   e m e n d a s   e m   50   m e t r o s  

Então, podemos dizer que:

X   ~   P o i s s o n   ( 1 )

Passo 2

(a) Na primeira situação a gente tem que calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos duas emendas em 125 metros de fio.

O primeiro passo é notar que não estamos mais tratando de 50 metros, então a média não é mais 1 emenda... Vamos fazer uma regrinha de três aqui, pra resolver isso!

1   e m e n d a y   e m e n d a s = 50   m e t r o s 125   m e t r o s

y = 125 50 = 2,5   e m e n d a s

Então, se temos uma variável Y é dada por...

Y : n º   d e   e m e n d a s   e m   125   m e t r o s  

Dizemos que:

Y   ~   P o i s s o n   ( 2,5 )

Passo 3

Se quisermos que tenham pelo menos duas emendas em um rolo de 125   m , então o que a gente quer é o seguinte...

P ( Y ≥ 2 )

E essa probabilidade acima, pode ser escrita também, graças ao complementar, como...

P Y ≥ 2 = 1 - P Y = 1 - P ( Y = 0 )

Pra calcular P ( Y = 0 ) , vamos usar a função de probabilidade da Poisson.

P Y = k = e - λ . λ k k !

Substituindo os valores:

P Y = 0 = e - 2,5 . 2,5 0 0 ! = e - 2,5 = 0,0821

E depois, calculemos P ( Y = 1 ) ...

P Y = 1 = e - 2,5 . 2,5 1 1 ! = e - 2,5 = 0,2052

Sendo assim, temos que...

P Y ≥ 2 = 1 - P Y = 1 - P ( Y = 0 )

P Y ≥ 2 = 1 - 0,2052 - 0,0821

P Y ≥ 2 = 0,7127 = 71,27 %

Passo 4

(b) Nessa letra aqui, o tamanho já mudou!

Agora, temos um rolo de 100   metros.

Calma! Calma! Não criemos pânico!

É só usar a regrinha de três...

1   e m e n d a z   e m e n d a s = 50   m e t r o s 100   m e t r o s

z = 100 50   e m e n d a s

z = 2   e m e n d a s

Com isso, se temos uma variável Z ...

Z : n º   d e   e m e n d a s   e m   100   m e t r o s  

Então:

Y   ~   P o i s s o n   ( 2,0 )

E como o que a gente quer, é a probabilidade de ocorrer uma emenda em um rolo de 100 metros, ou seja...

P Z = 1 = ?

Então, usando Poisson...

P Z = 1 = e - 2,0 . 2,0 1 1 ! = 0,2706

P Z = 1 = 27,06 %

Passo 5

(c) Bora pro último item!

Rapaz! O tamanho mudou de novo! Agora, temos 150 metros.

Bom, se a gente tinha 1 emenda a cada 50 metros, vamos ter 3 a cada 150 , né não!?

Então, se W :

W : n º   d e   e m e n d a s   e m   100   m e t r o s

W   ~   P o i s s o n   ( 3 )

Passo 6

A probabilidade de ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 150 metros, é a mesma coisa...

P ( W ≤ 2 )

E isso aí em cima, pode ser reescrito como...

P W ≤ 2 = P W = 0 + P W = 1 + P W = 2

Desse modo, calculando as probabilidades:

P W = 0 = e - 3 . 3 0 0 ! = e - 3 = 0,04978

P W = 1 = e - 3 . 3 1 1 ! = 3 e - 3 = 0,14936

P W = 2 = e - 3 . 3 2 2 ! = 4,5 e - 3 = 0,22404

Substituindo, obtemos a probabilidade que queríamos:

P W ≤ 2 = P W = 0 + P W = 1 + P W = 2

P W ≤ 2 = 0,04978 + 0,14936 + 0,22404

P W ≤ 2 = 0,42318

P W ≤ 2 ≅ 42,32 %

Resposta

a)

P Y ≥ 2 = 0,7127 = 71,27 %

b)

P Z = 1 = 27,06 %

c)

P W ≤ 2 ≅ 42,32 %

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