Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Uma editora verificou que um de seus livros, de 150   páginas, apresentavam 100   erros tipográficos em média. Calcule a probabilidade de um leitor se deparar com mais de 1   erro nas primeiras 3   páginas do livro.

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa questão é meio complicada, mas não por causa das contas. Nela precisamos assumir que o número de erros por página segue uma distribuição de Poisson. Parece razoável, já que estamos realizando a contagem de eventos. Calma, eu sei que é um pouquinho assustador. Mas a gente vai resolver essa juntos, beleza?

Vocês se lembram como é a distribuição de Poisson?

Ok, agora que vocês quebraram um pouquinho a cabeça (eu espero rs), vamos lembrar quando utilizamos a distribuição de Poisson e entender porque será com ela que iremos trabalhar aqui nessa questão.

Bom, a distribuição de Poisson é aplicável quando queremos fazer uma contagem de variáveis discretas. Ou seja, de ocorrência de determinados eventos até um certo tempo ou período. Esse evento pode ser qualquer um, desde a entrada de pessoas em um estabelecimento, até a quantidade de erros em páginas, em uma média. Certo, acho que então ficou um pouquinho mais claro de porquê usarmos isso aqui, show?

Temos o valor de 150 páginas que contém 100 erros tipográficos, em média. Por isso, cabe aqui usarmos a distribuição de Poisson,sem ela não podemos fazer a questão.

Passo 2

Bem temos 100   erros tipográficos, em média, em 150   páginas. Pra começar nosso raciocínio, vamos encontrar quantos erros teríamos em 3 páginas, que foi o valor que ele nos pediu, certo? Vamos usar regra de três para descobrir isso:

150   →     100  

3     →     x  

Ou seja, se em 150 páginas temos 100 erros, então em 3 páginas teremos:

150 x   =   300  

x   =   2  

Pronto, obtemos o nosso número médio de erros em três páginas do livro, que no caso é 2.

Agora precisamos calcular a probabilidade de observarmos MAIS de um erro nas três primeiras páginas.

Passo 3

Como falado no passo 1, precisamos assumir que o número de erros segue uma Poisson com média igual a média de erros em três páginas. Mas já calculamos essa média no passo anterior, encontramos o valor médio de possivelmente 2 erros em 3 páginas

Então, se X   representa o número de erros em 3 páginas, segue que X   ∼ p o i s s 2

Como X   ∼ p o i s s 2 então

P X = x   =   2 x e - 2 x !

(função de probabilidade da Poisson)

Nosso objetivo é calcular P X > 1 , ou seja, a probabilidade de em 3 páginas termos mais de 1 erro. Assim, temos pela probabilidade de eventos complementares, que:

P X > 1   =   1 -   P X ≤ 1

(probabilidade de eventos complementares)

Para que X > 1 , como temos uma variável discreta, o evento complementar (ou seja, os casos em que nossa variável não seja maior que 1) seria o caso de X = 1 , ou X = 0 , certo?

Assim, temos:

P X > 1 =   1 -   P X   = 1   + P X = 0

Pela fórmula, vamos lembrar como calcular a probabilidade de P X   = 1   e   P X   = 0   . Show, temos que

= 1 -       2 1 e - 2 1 ! - 2 0 e - 2 0 !

= 1 -   3 e - 2  

Finalmente acabamos a questão, pessoal!!!

Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!! Bons estudos 😊

Resposta

1 -   3 e - 2  

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