Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Um vendedor de seguros vende em média 3 apólices por semana (7 dias). O número de apólices vendidas pode ser modelada por uma distribuição de Poisson.

  1. Calcule a probabilidade de que ele venda 2 ou mais apólices numa dada semana;
  2. Foram escolhidas 4 semanas aleatoriamente, de maneira que se possa supor independência das vendas entre as semanas. Deseja-se saber a probabilidade de em exatamente 3 semanas, entre as 4 escolhidas, terem sido vendidas 2 ou mais apólices;
  3. Calcule a probabilidade de que ele venda 1 apólice durante um período de 5 dias.

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A : n ú m e r o   d e   a p ó l i c e s   v e n d i d a s   e m   1   s e m a n a

O enunciado diz que são vendidas em média 3 apólices e que essa v.a. segue modelo Poisson, então:

A   ~   P o i s s o n   ( λ = 3 )

Passo 2

Pra calcular a probabilidade que ele venda 2 ou mais apólices, a gente tem que fazer:

P A ≥ 2 =   ?

Que é o mesmo que dizer:

P A ≥ 2 = 1 - P A ≤ 1

                                                                                    = 1 - P A = 1 - P ( A = 0 )

Passo 3

Usando a fórmula de Poisson,

P A = 0 = e - 3 . 3 0 0 ! = e - 3

P A = 1 = e - 3 . 3 1 1 ! = 3 . e - 3

Logo:

P A ≥ 2 = 1 - e - 3 - 3 . e - 3

        = 1 - 4 e - 3

≈ 0,801    

Passo 4

(b)

Agora vamos chamar de:

S : n ú m e r o   d e   s e m a n a s ,   d e n t r e   4   e s c o l h i d a s ,   q u e   t i v e r a m   2   o u   m a i s   a p ó l i c e s   v e n d i d a s

De acordo com o enunciado, são 4 semanas, ou seja → n = 4 .

O sucesso aqui seria a semana escolhida ter tido 2 ou mais apólices vendidas. Com isso:

p = 0,801

Que é a prob. disso acontecer, que a gente calculou no item anterior.

Podemos dizer então que:

S   ~   B i n   4 ; 0,801

Passo 5

O exercício pede entao a prob. de 3 dessas semanas escolhidas, acontecerem isso.

P S = 3 =   ?

Usando a fórmula da Binomial.

P S = 3 = 4 3 . 0,801 3 . 1 - 0,801 1

P S = 3 = 4 × 0,801 3 × 1 - 0,801

P S = 3 ≈ 0,4096

Passo 6

(c)

Chamando de:

A 2 : n ú m e r o   d e   a p ó l i c e s   v e n d i d a s   e m   5   d i a s

Bom:

Se em 7 dias     → vende-se em média 3 apólices.

em 5 dias     → vende-se em média x apólices.

x = 15 7

Esse será nosso novo valor para λ .

λ = 15 7

E agora:

A 2   ~   P o i s s o n   15 7

Passo 7

Queremos calcular P ( A 2 = 1 ) .

Usando a fórmula de Poisson.

P A 2 = 1 = e - 15 7 . 15 7 1 1 !

P A 2 = 1 = 15 e - 15 7 7

P A 2 = 1 ≈ 0,251

Resposta

a   0,801

b   0,4096

c   0,251

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