Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Em uma caixa temos N   moedas, todas independentes e idênticas com probabilidade de cara igual a 1 3 .

A) A probabilidade de termos exatamente 2   caras se N   = 4   é?

B) A probabilidade de termos exatamente 2   caras se N   for uma variável aleatória poisson com esperança igual à 3  

Passo 1

Fala pessoal. Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nós temos uma caixa com N   moedas idênticas e independentes, com probabilidade de cara igual a 1 3

Na letra A) queremos saber a probabilidade de observar exatamente 2   caras supondo N = 4  

Na letra B) queremos saber a probabilidade de observar exatamente 2   caras supondo N ∼ p o i s s 3

Passo 2

Vamos começar pela letra A). Queremos calcular a chance de observamos 2   caras em uma caixa com N = 4     moedas. Vamos pensar aqui. Dado uma sequência qualquer de quatro moedas, qual a probabilidade de observamos 2   caras?

Será igual à 1 3 2 ⋅ 1 - 1 3 2   , onde 1 3 2 é a probabilidade de vermos duas caras e 1 - 1 3 2   é a probabilidade das outras duas moedas serem coroas.

Ou seja 1 3 2 ⋅ 1 - 1 3 2   é a probabilidade de uma sequência ter duas caras. Mas de quantas formas isso pode acontecer? Isto é de quantas maneiras podemos observar exatamente 2   caras em 4   moedas? Usando combinação, temos 4   escolhe 2   formas de observar exatamente 2   caras.

Dessa forma, como cada sequência com exatamente 2   caras é equiprovável, então temos que a probabilidade de observamos exatamente 2   caras em 4   moedas é:

  2 4 ⋅ 1 3 2 ⋅ 1 - 1 3 2  

Ou seja, temos que o número de caras segue uma distribuição Binomial com parâmetro N   e probabilidade 1 3 .

Passo 3

Agora que fizemos a letra A), e descobrimos que o número de caras segue uma distribuição Binomial com parâmetro N     e probabilidade 1 3 .

Queremos calcular a probabilidade de observar exatamente 2   caras supondo N ∼ p o i s s 3

Para essa questão vamos relembrar duas coisas, a função de probabilidade acumulada da Poisson e A lei da probabilidade total.

Se X ∼ p o i s s λ ⇒   P X   =   k   =   λ k e - λ k ! (1)

Sejam B 1 , … , B n uma partição de Ω então para todo A ∈ Ω

P A   =   ∑ i = 1 n P B i P B i (2)

Passo 4

Com as propriedades e definições revisadas no passo anterior, podemos calcular a probabilidade de observar exatamente 2   caras supondo N ∼ p o i s s 3 .

Usando (2). Temos:

P 2   c a r a s   =   ∑ i = 1 ∞ P N   =   i P N   =   i

Por (1) sabe-se que

P N   =   i =   3 i e - 3 i !

Juntando com o resultado da letra A)

P 2   c a r a s   =   ∑ i = 2 ∞ 1 3 2 2 3 i - 2 ⋅ 3 i e - 3 i !

(note que o indicie do somatório mudou. Consegue descobrir o porquê disso? Bem não tem como observar duas caras em um lançamento de uma moeda.)

Passo 5

No passo anterior calculamos a expressão da probabilidade de observamos 2   caras se N   ∼ p o i s s 3 , e chegamos a conclusão que:

P 2   c a r a s   =   ∑ i = 2 ∞ 1 3 2 2 3 i - 2 ⋅ 3 i e - 3 i !

Agora vamos desenvolver essa expressão.

  ∑ i = 2 ∞ 1 3 2 2 3 i - 2 ⋅ 3 i e - 3 i !   =   ∑ i = 2 ∞ i ! 2 ! i - 2 ! 1 3 2 1 3 i - 2 2 i - 2 ⋅ 3 i e - 3 i !

= ∑ i = 2 ∞ i ! 2 ! i - 2 ! 1 3 i 2 i - 2 ⋅ 3 i e - 3 i !

(juntando as potencias de 3, e cortando i !   )

= ∑ i = 2 ∞ 2 i - 2 ⋅ e - 3 i !

= e - 3 2 ∑ i = 2 ∞ 2 i - 2 i - 2 !

Mas pera ae, esse somatório não parece familiar? Não?

(Fazendo w   =   i - 2   )

e - 3 2 ∑ i = 2 ∞ 2 i - 2 i - 2 !   =   e - 3 2 ∑ w = 0 ∞ 2 w w !

E agora? Ficou mais claro né? Esse somatório é a definição de e 2 , então temos:

e - 3 2 ∑ i = 2 ∞ 2 i - 2 i - 2 !   =   e - 3 2 ∑ w = 0 ∞ 2 w w !

  =   e - 3 2 e 2

  =   e - 1 2

Resposta

  =   e - 1 2

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