Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O número de irregularidades por metro quadrado de madeira tem distribuição de poisson com média igual a 0.3

Se você comprar 15 peças de 10 m 2 de madeira, calcule a probabilidade de no máximo 3 delas existirem mais de 3 irregularidades

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de no máximo 3 peças de madeira de 10 m 2 , de um total de 15 , possuírem mais de 3 irregularidades. E aí, como podemos prosseguir? Vamos fazer uma revisão sobre a distribuição de poisson

Se X segue uma distribuição de poisson com média a , então

P ( X = k ) = a k e - a / k !

Mas veja, bem. Nós temos o número médio de irregularidades por metro quadrado. Mas queremos saber em uma peça de 10 m 2 , e aí como fazemos isso? É bem simples, fazemos uma regra de três

1   e s t á   p a r a   0.3

10   e s t á   p a r a   x

Logo a média de irregularidades para 10 m 2 é de 3 . Que é o parâmetro que iremos usar na nossa poisson

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de termos mais de três irregularidades em uma peça de madeira com 10 m 2 . Como queremos mais de três irregularidades então podemos usar a propriedade do complementar

P ( X > 3 ) = 1 - P ( X ≤ 3 )

onde X é o número de irregularidades em uma peça de 10 m 2 . E como vimos no passo 1, ela segue uma distribuição poisson com média 3 . Então

P ( X > 3 ) = 1 - P ( X ≤ 3 )

= 1 - P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )

= 1 - 3 1 e - 3 / 1 ! - 3 2 e - 3 / 2 ! - 3 3 e - 3 / 3 !

= 1 - 3 e - 3 - 9 e - 3 / 2 - 27 e - 3 / 6

Vamos chamar essa probabilidade de p

Agora que sabemos a probabilidade de ter mais de 3 imperfeições. Podemos calcular a probabilidade de no máximo três peças em 15 terem mais de 3 imperfeições. Podemos usar a distribuição binomial. Já que ela serve para contar a probabilidade de se obter um certo número de sucessos em n lançamentos. E essa distribuição tem a seguinte definição.

P ( x = k ) = n ! k ! ( n - k ) ! p k ( 1 - p ) n - k

onde p é probabilidade do evento de interesse e k o número de ocorrências desse evento.

No nosso caso, p = 1 - 3 e - 3 - 9 e - 3 / 2 - 27 e - 3 / 6 e n = 15

Como queremos a probabilidade de no máximo 3 peças tenham mais que 3 defeitos. Essa probabilidade será

P ( x = 1 ) + ⋯ + P ( x = 3 )

Que podemos obter com a ajuda de um computador

Resposta

Desenvolvimento acima

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