Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Suponha que o número de itens que uma loja vende por dia é uma variável aleatória modelada com uma distribuição Poisson, e que sejam vendidos em média 2 itens por dia. Ao longo de trinta dias, pergunta-se:

  1. Qual o número esperado de itens vendidos ao final dos trinta dias?
  2. Em aproximadamente em quantos destes trinta dias, a loja irá vender pelo menos um item?
  3. Em aproximadamente quantos destes trinta dias, a loja irá vender no máximo dois itens?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz que as vendas de uma determinada loja (em que as vendas é uma variável aleatória) é dada de acordo com a distribuição de Poisson, e que em média são vendidos 2 itens por dia.

Nesse sentido, queremos saber o número esperado de itens vendidos com o passar de 30 dias.

Também, queremos saber em quantos dias a loja venderá pelo menos um item e, também, no máximo dois itens.

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Vamos começar aqui com a letra a).

Bom... seja a variável aleatória X que representa o número de itens que a loja vende nos 30 dias.

Sendo assim, considerando que a média vendida é de 2 itens por dia, através de uma regra de 3, podemos dizer que no mês temos:

2 × 30 = 60 itens no mês

Por definição, sabe-se que, em uma distribuição de Poisson, o valor esperado E X para um período é igual a média, ou seja:

E X = λ ∴

E X = 60

Passo 3

Agora, na letra b), temos que considerar primeiramente a probabilidade de em um dia serem vendidos pelo menos 1 item, ou seja, P X ≥ 1 .

Essa expressão é dada a seguir:

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Em que P X = 0 é dada pela distribuição de Poisson:

P X = x = e - λ ∙ λ x x ! ∴

P X = 0 = e - 2 ∙ 2 0 0 !

Portanto:

P X ≥ 1 = 1 - e - 2 ∙ 2 0 0 ! ∴

P X ≥ 1 = 0,865

Passo 4

Dessa forma, seja Y a variável aleatória que representa o número de dias em que a loja venda pelo menos 1 item.

Como pode-se perceber, Y é uma variável aleatória do tipo binomial, com p = 0,865 sendo a probabilidade de sucesso e n = 30 o tamanho da amostra.

Sabendo disso, deseja-se saber o valor esperado de dias em que serão vendidos pelo menos 1 item.

Por definição, o valor esperado de uma distribuição binomial está dado a seguir:

E Y = n p ∴

E Y = 30 ∙ 0,865 ∴

E Y = 25,95 ≈ 26   d i a s

Passo 5

Agora, vamos para a letra c).

Seja agora a variável aleatória Z que representa o número de dias em um mês nos quais a loja vende até 2 itens.

Primeiramente, determinamos a probabilidade diária de ocorrência de tal evento a seguir:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 ∴

P X ≤ 2 = e - 2 ∙ 2 0 0 ! + e - 2 ∙ 2 1 1 ! + e - 2 ∙ 2 2 2 ! ∴

P X ≤ 2 = 0,677

Dessa forma, de forma análoga ao caso anterior, calcula-se a esperança de Z para n = 30 e p = 0,677 :

E Z = n p ∴

E Z = 30 ∙ 0 , 677 ∴

E Z = 30,31 ≈ 2 0   d i a s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. E X = 60
  2. 26   d i a s
  3. 20   d i a s

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