Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Uma fonte radioativa emite partículas segundo um processo de Poisson com taxa de 3 partículas por segundo. Qual a probabilidade da fonte emitir pelo menos 5   partículas em 2 segundos?

Passo 1

Temos uma fonte radioativa que emite partículas (hmm, muito interessante kkk) com uma taxa de 3   por segundo.

Vamos chamar de X a v.a. que simboliza o número de partículas emitidas em 2 segundos.

Se a taxa era de 3   por segundo, em 2   segundos, qual seria a taxa? 6, concorda?

Então podemos dizer que X segue uma distribuição Poisson com λ = 6 .

X   ~   P o i s s o n   6

Pegou a ideia? O exercício te dá uma taxa, mas que não é a que ele quer que você use.

Passo 2

Temos que calcular a probabilidade de emitir pelo menos 5   partículas.

P X ≥ 5 =   ?

Isso é a mesma coisa que:

1 - P X < 5

Pelo menos 5 é a mesma coisa que 1 menos a probabilidade de emitir menos que 5 .

1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4

Passo 3

Agora é a só a gente aplicar a função de probabilidade da Poisson.

P X = k = e - λ . λ k k !

P X = 0 = e - 6 . 6 0 0 ! = e - 6

P X = 1 = e - 6 . 6 1 1 ! = 6 . e - 6

P X = 2 = e - 6 . 6 2 2 ! = 18 . e - 6

P X = 3 = e - 6 . 6 3 3 ! = 36 . e - 6

P X = 4 = e - 6 . 6 4 4 ! = 54 . e - 6

Juntando tudo:

P X ≥ 5 = 1 - e - 6 + 6 . e - 6 + 18 . e - 6 + 36 . e - 6 + 54 . e - 6

= 1 - 115 . e - 6

= 0,715

Resposta

0,715

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