Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:

• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;

• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance p de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;

• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).

Pergunta-se:

(a) Qual é a probabilidade de que nesse dia sejam feitas no máximo 4 entregas, dado que ocorrerão pelo menos 3 entregas?

Passo 1

a)

Vamos começar criando uma v.a. para representar o número de entregas do dia:

E :     e n t r e g a s   d o   d i a

E sabemos que essas entregas seguem uma distribuição Poisson com média 5:

E   ~   P o i s s o n ( λ   = 5 )

E o que o item pede é a probabilidade de que no dia sejam feitas no máximo 4 entregas ( E ≤   4 ), dado que ocorrerão pelo menos 3 entregas ( E ≥ 3 ), ou seja, uma probabilidade condicional! Escrevendo na fórmula da condiconal temos:

P ( E ≤   4   | E ≥ 3 ) = P ( E ≤   4   ∩ E ≥ 3 ) P ( E ≥ 3 )

Mas pensa comigo, qual seria essa interseção aí dentro de termos no máximo 4 entregas e no mínimo 3 entregas? Quais são os números de entrega que entrariam nessa regra, 4 e 3, certo?! Então temos que:

P ( E ≤   4   ∩ E ≥ 3 ) = P ( E = 3 ) + P ( E = 4 )

E essa probabilidade do número de entregas ser maior ou igual a 3, do denominador da condicional, pode ser escrita como a complementar:

P ( E ≥ 3 ) = 1 - P ( E < 3 ) = 1 - ( P E = 2 + P ( E = 1 ) + P ( E = 0 ) )

Já que, abaixo de 3, podemos ter duas, uma ou zero entregas.

Substituindo isso tudo na fórmula da condicional temos:

P ( E ≤   4   | E ≥ 3 ) = P ( E ≤   4   ∩ E ≥ 3 ) P ( E ≥ 3 ) = P ( E = 3 ) + P ( E = 4 ) 1 - ( P E = 2 + P ( E = 1 ) + P ( E = 0 ) )

Passo 2

Agora podemos usar a fórmula da Poisson para calcular essas probabilidades, lembrando dela:

P ( X = k ) = e - λ . λ k k !

Então, lembrando que nossa média λ vale 5, nossa condicional fica:

P E ≤   4   E ≥ 3 = e - 5 . 5 3 3 ! + e - 5 . 5 4 4 ! 1 - e - 5 . 5 2 2 ! + e - 5 . 5 1 1 ! + e - 5 . 5 0 0 ! = 0,361

Resposta

0,361

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