Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Numa fábrica de artefatos de porcelana, situada em São Paulo, o processo consiste de duas fases: cozimento e pintura. Na primeira fase, a probabilidade de ocorrência de falhas é de 0.03   . Na segunda fase, os defeitos ocorrem segundo uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ   =   5   falhas 100   peças se ocorreu falha na fase de cozimento e com parametro λ   =   k   falhas/ 10   peças caso contrário. Se ocorrer defeito em nenhuma ou em apenas uma das fases o produto é vendido por $ 10,00   à unidade. Se ocorreu defeito nas duas fases o preço passa a $ 5,00   . Qual o valor médio de venda de uma peça?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume vamos anotar as informações do enunciado.

Sejam E 1 , E 2 os eventos que indicam se ouve falha na primeira e segunda etapa de cozimento, respectivamente. Então:

P E 1   =   0   =   0.97

P E 1   =   1   =   0.03

Quanto a E 2 temos sua distribuição condicionada a E 1 com isso podemos calcular

P E 1   =   1 ,   E 2   =   0   =   P E 1   =   1 ⋅ P E 2   =   0 E 1   = 1

P E 1   =   0 ,   E 2   =   0   =   P E 1   =   0 ⋅ P E 2   =   0 E 1   = 0

P E 1   =   1 ,   E 2   =   1   =   P E 1   =   1 ⋅ P E 2   >   0 E 1   = 1

P E 1   =   0 ,   E 2   =   1   =   P E 1   =   0 ⋅ P E 2   >   0 E 1   = 0

Nosso artefato é vendido por $ 10,00   se ocorre no máximo 1 erro na fase de produção, e é vendido por $ 5,00   se ocorrem erro nas duas fases de produção.

Queremos calcular o preço de venda médio de um artefato de porcelana. Ou seja, se C   representa o custo do artefato então queremos calcular E C .

Passo 2

No passo 1, teve muita informação para descompactar, mas agora podemos começar a calcular E C .

E C   =   ∑ n ∈ Z   n P C   =   n

= 10 P C = 10   +   5 P C = 5

Mas pera a e, qual é a probabilidade P C = 10 e P C = 5 ?

Elas serão as probabilidades de ocorrer no máximo 1 erro na fase de produção e ocorrer erro nas duas fases de produção respectivamente.

Passo 3

Note que como C   só assume dois valores, temos que P C = 10   =   1   -   P C = 5 , ou seja podemos escolher a probabilidade mais simples de ser calculada e obter a outra. Nesse caso vamos calcular P C = 5 que é a probabilidade de ocorrer erro nas duas etapas.

P C = 5   =   P E 1   =   1 ,   E 2   >   0

=   P E 1   =   1 P   E 2   >   0   E 1   =   1

Como E 2 dado E 1 =   1 é uma Poisson com parâmetro 0.05   Temos que

P E 2   >   0     E 1   =   1   =   1 - e - 0.05

Logo:

P C = 5   =   P E 1   =   1 ,   E 2   >   0

  =   0.03 1   -   e - 0.05

Passo 4

Agora que temos P C = 5 podemos calcular a P C = 10 .

P C = 10   =   1   -   P C   =   5

=   1 -   0.03 1 - e - 0.05

=   9,7   +   0.03 e - 0.05

Passo 5

Lembre que nosso objetivo é calcular E C

E C   =   10 P C = 10   +   5 P C = 5

=   10 0.97   +   0.03 e - 0.05   +   5 ⋅ 0.03 1 - e - 0.05  

=   9.7   +   0.3 e - 0.05   +   0.15 - 0.15 e - 0.05  

=   9.85   +   0.15 e - 0.05  

Resposta

=   9.85   +   0.15 e - 0.05  

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