Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

A taxa de ocorrência de crimes em um bairro é de r   crimes/hora (todos os tempos nessa questão são medidos em hora). A distribuição do número de crimes emum período de tempo 0 , T é Poisson com parâmetro λ = r t   . A variável aleatória contínua T   é o instante em que ocorre o primeiro crime a partir do instante 0   , Qual a probabilidade do evento T < t ?.

Passo 1

Fala pessoal. Beleza? Vamos para mais uma questão. Como sempre, antes de sairmos calculando as coisas precisamos saber o que queremos calcular e as informações passadas no enunciado.

Temos que:

  • Seja N   o número de crimes em T   horas
  • N   ∼ P o i s s λ   =   r T

Queremos calcular a probabilidade do evento T < t , isto é a probabilidade do primeiro crime ocorrer antes do tempo t  

Passo 2

Agora podemos começar a resolver a questão. Vamos olhar com calma o conjunto T < t . Quais são seus elementos? É o conjunto cujos elementos representem o fato de ocorrer pelo menos um crime antes do tempo t   . Mas esse conjunto é gigantesco, então não seria prático trabalhar com ele para achar a probabilidade de T < t . Como será que contornamos esse problema?

Vale lembrar que P A   +   P A c   =   1   ∀   A   ∈   Ω

Agora ficou mais fácil de ver como contornar o problema. Iremos usar o conjunto complementar.

O complementar de ocorrer pelo menos um crime em 0 , t é não ocorrer nenhum crime em 0 , t

Passo 3

Agora vamos calcular a probabilidade de não ocorrer nenhum crime em 0 , t

Seja N     o número de crimes em 0 , t

⇒   P N   =   0   =   r t 0 ⋅ e - r t 0 !

=   e - r t

Logo, a probabilidade de interesse é:

=   1 -   e - r t

Essa probabilidade te parece familiar? Parece, né? Pois essa é a função de distribuição (acumulada) de uma exponencial. Esse resultado nos diz que o tempo de espera entre o acontecimento de duas observações de uma distribuição Poisson tem distribuição exponencial. Muito legal, não acha?

Resposta

=   1 -   e - r t

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