Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

Ver Teoria

Enunciado

Um aluno de educação física, conhecido na escola por ser “bom de pontaria”, é desafiado pelos amigos num jogo de basquete. O desafio consiste em fazer 20 lances livres de forma independente ao cesto de basquete e avaliar sua performance nessas jogadas. Sabe-se que em média a cada 20 lançamentos ele acerta 15. Com base nesta informação, responda as perguntas a seguir.

a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.

b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.

c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.

Passo 1

Vamos lá, a questão fala pra gente de um cara que vai fazer lançamentos, onde nesses lançamentos ele pode acertar ou errar. Sucesso ou falha, sendo repetido n vezes (nesse caso 20 vezes): Binomial!

Sem dificuldades por enquanto, né?

Vamos então criar a variável aleatória X , que é dada por:

X = n ú m e r o   d e   a c e r t o s   a o   c e s t o   e m   20   j o g a d a s

Já podemos afirmar então que nossa v.a. segue o modelo Binomial.

X ~ B i n o m i a l ( n , p )

Passo 2

a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.

Já sabemos que a nossa v.a. segue uma Binomial, mas antes de fazermos o cálculo das probabilidades, precisamos definir os parâmetros.

Como a questão fala pra gente que ele acerta em média 15 a cada 20 lançamentos, ou seja, nosso valor esperado é 15, podemos fazer que:

E X = 20 p = 15

Logo, nosso p seria:

p = 0,75

E nosso n = 20 , já que ele vai fazer 20 lançamentos.

Assim, ficamos com:

X ~ B i n o m i a l ( 20 ; 0,75 )

Passo 3

Resolvendo o que a letra pede pra gente, queremos acertar pelo menos 17 lançamentos, ou seja:

P X ≥ 17 = P X = 17 + P X = 18 + P X = 19 + P X = 20

P X ≥ 17 = ∑ x = 17 20 20 x 0,75 x ∙ 0,25 20 - x ≈ 0,225

Passo 4

b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.

Sabemos que na Binomial, a variância de X é dada por:

V A R X = n p ( 1 - p )

Logo:

V A R X = 20 × 0,75 × 0,25 = 3,75

Passo 5

c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.

Vamos criar outra variável aleatória aqui:

Y = n ú m e r o   d e   e r r o s   a o   c e s t o   e m   300   j o g a d a s

Aqui o nosso sucesso é o cara errar, cuidado pra não se confundir com isso!

Além disso ele pede pra gente aproximar a Binomial pela Poisson, e podemos fazer isso, já que n = 300 ≥ 50 e n p = 3 < 5 .

Aqui, nosso λ vai ser dado por:

λ = 300 ∙ 0,01 = 3

Passo 6

O cara pede pra gente a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes, ou seja:

P Y ≤ 2 = P Y = 0 + P Y = 1 + P ( Y = 2 )

P Y ≤ 2 = ∑ x = 0 2 e - 3 ∙ 3 x x ! ≈ 0,423

Resposta

a) 0,225

b) 3,75

c) 0,423

Exercícios de Livros Relacionados

O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora. a. Qual é a probabilidade de exatamente quatro pessoas cheg
Em um processo de Poisson, o que deve acontecer no intervalo de tempo (0,t) e no intervalo (t, t+ ∆ t ) para que nenhum evento ocorra em todo o intervalo (0, t+ ∆ t ) ? Use esta Hipótese e as Hipótese
Deduza a fórmula para a média e o desvio padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a +1,…, b.
Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores de certo tipo apresentem falhas de CPU durante o período de garantia. Considere uma amostra de 10.000 computadores. a. Qual é o valor esperado e o des
Falhas ocorrem no interior de plástico usado em automóveis, seguindo uma distribuição de população, com uma média de 0.02 falha por painel. Se 50 painéis foram de pressionados, qual será a probabilida