Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

PUC, Física 4, P1 2017.1, 4

Um experimento com anéis de Newton é usado para determinar o raio de curvatura de uma lente plano-convexa. Incide-se luz com comprimento de onda λ = 670 nm perpendicularmente à face plana da lente. Formam- se diversos anéis claros e escuros para um observador situado ao lado da fonte luminosa. O raio do vigésimo anel escuro é11 mm. Calcule o raio R da lente.

Passo 1

Nesse problema percebemos que como se trata de franjas claras e escuras, teremos que analisar as diferenças de fase por reflexão e por caminho percorrido.

Nosso objetivo é determinar a relação entre o raio da lente, o raio da franja, d, e claro a ordem da franja, só assim conseguiremos usar os valores do enunciado para achar o valor do raio da lente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando o desenho temos que ( lembrando que circulo significa uma fase e quadrado a mudança dela de um fator π )

Analisando a imagem vemos que existe um raio com circulo e um raio com quadrado, o que significa que entre eles há uma diferença de fase de π devido a reflexão da luz quando passa de um meio menos refringente para uma mais refringente.

φ = π

Passo 3

A segunda coisa que temos que analisar é a diferença de caminho percorrido entre os raios, nesse caso sabemos que isso ocorre na região de medida d na figura, também já sabemos que a fórmula para diferença de fase por caminho percorrido é

δ φ =   ∆ r   .     2 π λ

Em que nesse caso o valor de ∆ r = 2 d

Passo 4

Por fim sabemos que a vigésima franja é escura, e é exatamente ela que temos que calcular. Mas lembra que quando temos uma franja escura significa que tivemos uma interferência destrutiva, e quando temos interferência destrutiva devemos calcular a nossa diferença de fase como uma múltiplo de π , logo a nossa fórmula será

2 d   .   2 π λ -   π = ( 2 m + 1 ) π

Mas aqui devemos tomar o seguinte cuidado, pois para ser múltiplo de π não basta apenas fazer m π pois para o caso de m = 2 a interferência seria construtiva.

Logo a forma correta de fazermos um múltiplo de π é da seguinte maneira

( 2 m + 1 ) π

Pois nesse caso, independente do valor de m teremos múltiplos de π .

Agora vamos resolver o nosso exercício

Passo 5

Mudando os termos de lugar teremos

2 d   .   2 π λ = 2 m . π + π + π

2 d   .   2 π λ = 2 π m + 2 π

2 d   .   2 π λ = 2 π ( m + 1 )

Feito isso podemos cortar os valores 2 π de ambos os lados da fórmula

2 d   λ = ( m + 1 )

Isolando o valor de d teremos que

d = λ   2 ( m + 1 )

Aqui vale ressaltar o seguinte cuidado, para nos os valores m são

m=0,1,2,3,4,5....

porém como se trata de franjas escuras não podemos começar do zero que seria uma franja clara

logo podemos fazer a seguinte adaptação

m + 1 = m

Agora nossa sequencia para m será

m=1,2,3,4,5...

como deveria ser, trocando na fórmula teremos

d = λ . m   2

Passo 6

Agora que resolvemos a parte que relaciona as franjas precisamos da parte que relaciona as medidas do desenho para poder fazer a relação, olhando a figura com mais cuidado vemos que nela há um triangulo retângulo que podemos fazer Pitágoras.

R = R a i o   d a   l e n t e

r = r a i o   d a   f r a n j a  

d = d i s t a n c i a   e n t r e   a   l e n t e   e   o   v i d r o   r e t a n g u l a r  

Fazendo Pitágoras teremos

( R - d ) 2 + r 2 = R ²

R 2 - 2 . R . d + d 2 + r 2 = R 2

Nessa equação podemos ignorar o valor de d 2 por ser muito pequeno, e também podemos cortar os valore de R 2 .

Sobra apenas

r 2 = 2 . R . d

Isolando o nosso d

d = r 2 2 R

Passo 7

Agora que temos duas fórmulas para d podemos igualar eles

λ . m   2 = r 2 2 R

Isolando o valor de R nessa equação teremos

R = r 2 λ . m

Passo 8

Como o objetivo do exercício é determinar o raio as lente, conseguimos chegar na fórmula que define isso. Olhando os dados que temos

m = 20

λ = 670 n m = 670 . 10 - 9 m

r = 11 m m = 11 .   10 - 3 m

substituindo, teremos

R = ( 11 .   10 - 3 ) 2 670 . 10 - 9 . 20

R = 9,03 m

Resposta

R = 9,03 m

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