Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

A figura abaixo mostra um bloco de plástico transparente com índice de refração n p > 1 e espessura que varia continuamente entre y 1 (extremidade esquerda) e valor y 2 (extremidade direita). Um feixe de luz monocromática de comprimento de onda λ incide normalmente sobre toda a extensão do bloco e é refletida na direção do observador O. Ele observa o bloco numa visão superior e enxerga um perfil sequencial de interferência luminosa composta por 6 franjas escuras e 5 franjas claras ao longo da extensão do filme, onde as franjas nas extremidades são escuras. Considere a incidência normal dos raios de luz.

(a) Obtenha as condições para interferência construtiva e destrutiva da luz observada para uma dada espessura y tal que y 1 < y < y 2 .

(b) Calcule a diferença y 2 - y 1 em termos de λ e n p .

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando que, quando temos filmes finos, o fato de haver interferência construtiva ou destrutiva depende da diferença de fase total.

Ela é dada pela soma de uma diferença de fase devido à diferença de caminho ótico e outra diferença de fase devido à reflexão:

ϕ t o t a l = ϕ c a m i n h o + ϕ r e f l e x ã o  

A diferença de fase devido à diferença de caminho, numa espessura y do filme, é dada por:

ϕ c a m i n h o = 2 π 2 y λ p

onde:

λ p = λ n p

A diferença de fase devido à reflexão vale π , quando a luz passa do ar para o plástico, e 0 quando a luz passa do plástico para o ar, pois n p > 1 ≅ n a r .

O raio 1 vai se defasar em π radianos, pois ele vem da reflexão da luz do ar para o plástico.

O raio 2 teve antes uma reflexão do plástico para o ar, então a diferença de fase é 0, e depois teve uma difração, que não tem diferença de fase associada.

Logo a diferença de fase devido à reflexão é só π mesmo:

ϕ r e f l e x ã o = π

Logo:

ϕ t o t a l = 4 π y n p λ + π

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Passo 2

Para haver diferença construtiva, a diferença de caminho total tem que ser um múltiplo inteiro de π :

ϕ t o t a l = 2 m π

com m = 0,1 , 2,3 …

Substituindo:

4 π y n p λ + π = 2 m π

Dividindo os dois lados por π 2 :

2 y n p λ + 1 2 = m

2 n p y = λ m - 1 2

com m = 0,1 , 2,3 …

Já para a interferência destrutiva:

ϕ t o t a l = 2 m + 1 2 π

com m = 1,2 , 3 …

Substituindo:

4 π y n p λ + π = 2 m + 1 2 π

Dividindo os dois lados por π 2 :

2 y n p λ + 1 2 = m + 1 2

2 y n p = m λ

com m = 1,2 , 3 …

Passo 3

(b) O enunciado disse que as extremidades do filme eram franjas escuras, ou seja, eram pontos de interferência destrutiva.

Como também foi dito que há 6 franjas escuras, a extremidade y 1 equivale a m = 1 na e a extremidade y 2 equivale a m = 6 .

Substituindo essas condições na fórmula de interferência destrutiva que achamos no item (a):

2 y 1 n p = 1 λ

2 y 2 n p = 6 λ

Subtraindo a equação de cima da de baixo:

2 y 2 n p - 2 y 1 n p = 6 λ - 1 λ

2 n p y 2 - y 1 = 5 λ

y 2 - y 1 = 5 λ 2 n p

Resposta

(a) Interferência construtiva:   2 n p y = λ m - 1 2 , m = 0,1 , 2,3 …

Interferência destrutiva: 2 y n p = m λ ,   m = 1,2 , 3 …

(b) y 2 - y 1 = 5 λ 2 n p

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