Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

Física 4 – PUC RJ – 2019.2 – P1 – Questão 2

Um feixe de luz plana monocromática, viajando no ar, incide sobre uma placa de Zircônio, cujo índice de refração é 1,9 .

a) Seja o ângulo de incidência θ = 30 ° . Qual de propagação n ^ da luz dentro do Zircônio? Escreva em termos dos vetores unitários x ^ , y ^ e z ^ , de acordo com o sistema de coordenadas mostrado na figura).

b) Suponha que a espessura da placa de Zircônio seja d = 10   c m . Se a luz parte de uma posição y = 30   c m acima da face superior da placa, quanto tempo leva para emergir na face inferior da placa?

c) Seja agora θ = 0 ° (incidência normal) e a espessura da placa de Zircônio d = 0,80   μ m . Para quais comprimentos de onda dentro do espectro visível a intensidade da luz refletida (emergindo pela face superior da placa) é nula?

Passo 1

Eai galerinha, bora resolver mais uma questão de física 4!

Nos dois primeiros itens vamos considerar apenas a refração da luz entre o ar e o filme de Zircônio:

Primeiro vamos usar a lei de Snell para achar o ângulo de refração:

n a r   s e n   θ = n z i r c   s e n   θ R → s e n   θ R = n a r n z i r c s e n   θ

Como n a r = 1 , n z i r c = 1,9 e s e n   30 ° = 1 / 2 , temos que

s e n   θ R = 1 1,9 ⋅ 1 2 = 0,263

Com isso, podemos achar também

cos ⁡ θ R = 1 - s e n 2 θ R = 1 - 0,263 2 = 0,965

O enunciado pede para acharmos o versor que dá a direção de propagação do raio refratado. Fazendo a decomposição:

n ^ = s e n   θ R   x ^ - cos ⁡ θ R   y ^

Portanto,

n ^ = 0,263   x ^ - 0,965   y ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b) queremos saber o tempo que demora para a luz percorrer todo o caminho. No ar ela percorre uma distância D a r e no Zircônio uma distância D z i r c . Olhando para os triângulos retângulos:

cos ⁡ θ = y D a r → D a r = y cos ⁡ θ = 30 cos ⁡ 30 ° = 60 3 = 34,6   c m

cos ⁡ θ R = d D z i r c → D z i r c = d cos ⁡ θ r = 10 0,965 = 10,4   c m

No ar a velocidade da luz é c = 3 ⋅ 10 8   m / s , de modo que

c = D a r Δ t a r → Δ t a r = D a r c = 0,346 3 ⋅ 10 8 = 0,115 ⋅ 10 - 8   s

Já no Zircônio, a velocidade de propagação é

v = c n = 3 ⋅ 10 8 1,9 = 1,58 ⋅ 10 8   m / s

Portanto,

Δ t z i r c = D z i r c v = 0,104 1,58 ⋅ 10 8 = 0,0658 ⋅ 10 - 8   s

Daí é só somar os tempos:

Δ t = Δ t a r + Δ t z i r c = 0,115 ⋅ 10 - 8   s + 0,0658 ⋅ 10 - 8   s

Δ t = 0,181 ⋅ 10 - 8   s

Δ t = 1,81 ⋅ 10 - 9   s

Ou ainda,

Δ t = 1,81   n s

Passo 3

Por fim, vamos ao item (c)! Agora vamos discutir sobre interferência em filmes finos!

Vamos considerar a seguinte situação:

PS: o problema disse que a incidência era normal, porém representei ela inclinada para ficar mais fácil de visualizar a situação. Mas tenha em mente que todos esses raios deveriam estar desenhados na vertical!

A luz incidente sobre o cristal é parcialmente refletida (raio 1) e parcialmente refratada. A parte refratada será refletida em (B) na interface entre o cristal e o ar e depois retornará para o ar (raio 2). Os raios 1 e 2 vão interferir destrutivamente de modo que não será observada luz refletida. O exercício quer que achemos a espessura da placa para que isso ocorra!

Para fazer isso, temos que calcular a diferença de fase entre os raios 1 e 2. Essa diferença de fase terá duas contribuições!

A primeira contribuição vem do fato de haver inversão de fase na reflexão (A) mas não haver inversão na reflexão (B). Isso significa que devemos somar um fator π na defasagem! Lembre-se que a inversão de fase ocorre quando a reflexão ocorre de um meio com índice de refração menor para um meio com índice de refração maior!

A outra contribuição vem da diferença de caminho. Nesse caso, a diferença de caminha do raio 2 com relação ao raio 1 é simplesmente o dobro da espessura da placa:

d i f e r a n ç a   d e   c a m i n h o = 2 d

Com todas essas informações, temos que a diferença de fase é

Δ ϕ = k z i r c ⋅ 2 d + π

A defasagem devido a diferença de caminho é o número de onda vezes a diferença de caminho e somamos o fator π devido a inversão de fase na reflexão (A)! Usando que

k z i r c = 2 π λ z i r c ,

temos que

Δ ϕ = 2 π λ z i r c ⋅ 2 d + π = π 4 d λ z i r c + 1

Passo 4

O exercício forneceu o comprimento de onda da luz no ar λ a r = 640   n m . Como relacionar isso com o comprimento da luz na placa de Zircônio? A boa e velha refração!

Sabemos que quando uma onda refrata, sua velocidade e comprimento de onda mudam, porém sua frequência é inalterada. Desta forma,

f = c λ a r = v z i r c λ z i r c

Lembre-se que v = λ f e que no ar v a r = c é a velocidade da luz no vácuo! Assim, temos que

λ z i r c = λ a r v z i r c c = λ a r n c r i s t a l ,

pois n = c / v . Substituindo isso na relação para a defasagem:

Δ ϕ = π 4 d n z i r c λ a r + 1

Passo 5

Estamos quase acabando, falta pouco!

Para que a interferência seja destrutiva, devemos ter

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Isso significa que a defasagem deve ser um múltiplo ímpar de π . Portanto,

2 m + 1 = 4 d n z i r c λ a r + 1

Logo,

λ a r = 2 d n z i r c m

Daí, vamos substituir d = 0,8   μ m = 800   n m e n z i r c = 1,9 :

λ a r = 2 ⋅ 800   n m ⋅ 1,9 m = 2560 m   n m

A faixa do visível vai de 400   n m até 700   n m :

400   n m < 2560 m   n m < 700   n m

Logo, temos que achar os valores de m que satisfazem

400 < 2560 m < 700

Portanto, achamos

2560 700 < m < 2560 400 → 3,6 < m < 6,4

Vemos que os possíveis de m são

m = 4 ,   5 ,   6

Assim,

m = 4 → λ = 2560 4 = 640   n m

m = 5 → λ = 2560 5 = 512   n m

m = 6 → λ = 2560 6 = 427   n m

Com isso, os comprimentos de onda dentro do visível para que a interferência seja destrutiva são

λ = 427   n m ,             λ = 512   n m             e           λ = 640   n m

Isso fecha o problema 😊!

Resposta

n ^ = 0,263   x ^ - 0,965   y ^

Δ t = 1,81   n s

λ = 427   n m ,             λ = 512   n m             e           λ = 640   n m

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