Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

PUC, Física 4, P1 2016.2, 4

(III) Um experimento com anéis de Newton é usado para determinar o raio de curvatura de uma lente. Incide-se luz com comprimento de onda λ = 546 nm perpendicularmente à face plana da lente. Formam-se diversos anéis claros e escuros alternados para um observador situado ao lado da fonte luminosa. O raio do anel claro de ordem m é r m = 0,162 cm e o raio do anel claro de ordem m + 20 é r m + 20 = 0,368 cm.

(c ) Calcule o raio R da lente.

Passo 1

Nesse problema percebemos que como se trata de franjas claras e escuras, teremos que analisar as diferenças de fase por reflexão e por caminho percorrido.

Nosso objetivo é determinar a relação entre o raio da lente, o raio da franja, d, e claro a ordem da franja, só assim conseguiremos usar os valores do enunciado para achar o valor do raio da lente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando o desenho temos que ( lembrando que circulo significa uma fase e quadrado a mudança dela de um fator π )

Analisando a imagem vemos que existe um raio com circulo e um raio com quadrado, o que significa que entre eles há uma diferença de fase de π devido a reflexão da luz quando passa de um meio menos refringente para uma mais refringente.

φ = π

Passo 3

A segunda coisa que temos que analisar é a diferença de caminho percorrido entre os raios, nesse caso sabemos que isso ocorre na região de medida d na figura, também já sabemos que a fórmula para diferença de fase por caminho percorrido é

δ φ =   ∆ r   .     2 π λ

Em que nesse caso o valor de ∆ r = 2 d

Passo 4

Por fim sabemos que a franja de ordem m, assim como a de ordem m+20 é clara, e é exatamente ela que temos que calcular. Mas lembra que quando temos uma franja clara significa que tivemos uma interferência construtiva, e quando temos interferência construtiva devemos calcular a nossa diferença de fase como uma múltiplo de 2 π , logo a nossa fórmula será

2 d   .   2 π λ -   π = 2 π m

Agora vamos resolver o nosso exercício

Passo 5

Mudando os termos de lugar teremos

2 d   .   2 π λ = 2 π m + π

2 d   .   2 π λ = π ( 2 m + 1 )

Feito isso podemos cortar os valores π de ambos os lados da fórmula

2 d . 2 λ = ( 2 m + 1 )

Isolando o valor de d teremos que

d = λ   4 ( 2 m + 1 )

Passo 6

Agora que resolvemos a parte que relaciona as franjas precisamos da parte que relaciona as medidas do desenho para poder fazer a relação, olhando a figura com mais cuidado vemos que nela há um triangulo retângulo que podemos fazer Pitágoras.

R = R a i o   d a   l e n t e

r = r a i o   d a   f r a n j a  

d = d i s t a n c i a   e n t r e   a   l e n t e   e   o   v i d r o   r e t a n g u l a r  

Fazendo Pitágoras teremos

( R - d ) 2 + r 2 = R ²

R 2 - 2 . R . d + d 2 + r 2 = R 2

Nessa equação podemos ignorar o valor de d 2 por ser muito pequeno, e também podemos cortar os valore de R 2 .

Sobra apenas

r 2 = 2 . R . d

Isolando o nosso d

d = r 2 2 R

Passo 7

Agora que temos duas fórmulas para d podemos igualar eles

d = λ   4 ( 2 m + 1 ) = r 2 2 R

Isolando o valor de R nessa equação teremos

R = 2 . r 2 λ . ( 2 m + 1 )

Passo 8

Como o objetivo do exercício é determinar o raio as lente, conseguimos chegar na fórmula que define isso. Olhando os dados que temos

p a r a   o r d e m   m     r m   =   0,162  

p a r a   o r d e m   m + 20       r m + 20   =   0,368   c m  

λ = 546 n m = 546 . 10 - 9 m

como independente do valor de m o nosso raio da lente deve ser igual, sabemos que tanto para o caso que a ordem for igual a m quanto para o caso em que a ordem for m+20 teremos os mesmo valores, ou seja, vamos igualar as duas fórmulas para mesma ordem e calcular o valor de m e por fim definimos o valor que o nosso R deverá ter

Passo 9

2 . r m 2 λ . ( 2 m + 1 ) = 2 . r m + 20 2 λ . ( 2 ( m + 20 ) + 1 )

r m 2 ( 2 m + 1 ) = r m + 20 2 ( 2 ( m + 20 ) + 1 )

2 m + 40 + 1 ( 0,162   ) 2 = 2 m + 1 ( 0,368 ) 2

0,0525 m + 1,076 = 0,271 m + 0,135

m ≈ 4,31

sabemos que m só pode ser representado por números inteiros, mas como nesse caso achamos um valor com virgula vamos calcular a resposta a partir dele, mas também podemos aproxima-lo para seu valor mais próximo, no caso m=4 e acharemos um valor mais aproximado

R = 2 . r m 2 λ . ( 2 m + 1 )

R = 2 . ( 0,162 . 10 - 2 )   2 546 . 10 - 9 . ( 2.4,31 + 1 ) = 0,999 m = 99,9 c m ≅ 1 m

Resposta

R = 1,00 m

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