Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

USP – Física 4 – 2019 – P1 – Exercício 1

A figura abaixo mostra uma camada superior de índice de refração n 1 = 1.5 de espessura t , depositada sobre uma camada espessa de índice de refração n 2 = 3 . O sistema está imerso em ar ( n 0 = 1 ). Luz monocromática com comprimento de onda λ 0 = 600   n m , incide sobre a camada de espessura t com um ângulo de incidência θ 0 pequeno.

a) Determine as frequência e os comprimentos de onda da luz nos três meios.

b) Obtenha a mínima espessura t da camada superior para que ela funcione como uma cama anti-reflexo (mínima reflexão) para este comprimento de onda em incidência normal.

c) Para a espessura t calculada no item anterior, encontre os comprimentos de onda da luz visível ( 400   n m ≤ λ 0 ≤ 800   n m ) para os quais há um máximo de reflexão (interferência construtiva) para incidência normal.

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais uma prova da POLI? Essa primeira questão aqui é sobre interferência de ondas em filmes finos.

A luz, com comprimento de onda λ 0 = 600   n m passa por outras dois meios com n 1 = 1.5 e n 2 = 3 . No item (a) queremos a frequência e o comprimento de onda em cada meio.

O principal conceito que você deve saber no item (a) é que a frequência de uma onda não é alterada quando ela sofre refração! Vamos calculá-la no ar:

c = λ 0 f ⇒ f = c λ 0 = 3 ⋅ 10 8   m / s 600 ⋅ 10 - 9   m ⇒ f = 5 ⋅ 10 14   H z

Como a frequência não é alterada pela refração, ela é a mesma em todos os meios:

f 0 = f 1 = f 2 = 5 ⋅ 10 14   H z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar o comprimento de onda, lembre-se que o índice de refração é dado por

n i = c v i ⇒ v i = c n i

Como

v i = λ i   f ⇒ c n i = λ i   f

Mas como vimos

f = c λ 0

Portanto,

c n i = λ i c λ 0 ⇒ λ i = λ 0 n i

Para achar o comprimento de onda num determinado meio, basta dividir o comprimento de onda do ar pela índice de refração do meio em questão. Assim,

λ 1 = λ 0 n 1 = 600   n m 1.5 ⇒ λ 1 = 400   n m

λ 2 = λ 0 n 2 = 600   n m 3 ⇒ λ 2 = 200   n m

Passo 3

Agora que temos os comprimentos de onda em cada meio podemos prosseguir no exercício! Note que parte do raio incidente é refletido logo na interface entre os meios (0) e (1): esse raio refletido é o raio 1. O raio refratado que passa para o meio (1) é o raio 2, que é refletido pelo meio (2) se tornando o raio 3 e que quando refrata de volta para o meio (0) passa a ser o raio 4. Eu sei que todo esse texto tá bem confuso, por isso leia ele com calma novamente, sempre identificando os raios na figura.

Queremos achar a menor espessura t para que a interferência entre os raios 1 e 4 seja destrutiva dê origem a um mínimo de reflexão. Para que isso ocorra, a interferência entre os dois raios devem ser destrutiva! Vamos procurar a defasagem entre eles.

Na reflexão entre os meios (0) e (1), como n 1 > n 0 , ocorre uma inversão na fase da onda. Da mesma forma, na reflexão entre os meios (1) e (2), também ocorre inversão de fase, pois n 2 > n 1 . Assim, como a inversão ocorre nas duas reflexões, podem simplesmente desconsiderá-la: apenas a diferença de caminho é responsável pela defasagem!

Como estamos considerando incidência normal, a diferença de caminho é o dobro da espessura, já que a luz vai percorrer a espessura na “ida” e na “volta”:

d = 2 t

Você deve saber também que a defasagem é dada por

ϕ = k 1 ⋅ d ,

onde k 1 = 2 π / λ 1 é o número de onda do meio (1). Assim,

ϕ = 2 π λ 1 ⋅ 2 t

Passo 4

Para que a interferência seja destrutiva, devemos ter

ϕ = 2 m + 1 π ,             m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   …

Assim,

4 π λ 1 t = 2 m + 1 π ⇒ t = 2 m + 1 λ 1 4

Como λ 1 = λ 0 / n 1 :

t = 2 m + 1 λ 0 4 n 1

O exercício quer a menor espessura, então você precisa tomar m = 0 :

t = λ 0 4 n 1 = 600   n m 4 ⋅ 1.5 ⇒ t = 100   n m

Passo 5

Vamos pro último item! Ele pede para usarmos t = 100   n m como espessura e procurar o comprimento de onda λ 0 para que a interferência seja construtiva. Já sabemos que a defasagem é

ϕ = 4 π λ 1   t = 4 π n 1 λ 0   t

Como a interferência deve ser construtiva, temos

ϕ = 2 m π ,             m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Assim, Muita coisa em uma linha só na equação abaixo. Melhor pular linha do que ir fazendo um ao lado do outro. E deixar o que se quer, no final, por exemplo, uma linha escrita só com lamba0=300/m nm

2 m π = 4 π n 1 λ 0   t

Portanto,

λ 0 = 2 n 1 t m

Substituindo os valores:

λ 0 = 2 ⋅ 1.5 ⋅ 100   n m m

Assim,

λ 0 = 300 m   n m

O problema pediu para acharmos λ 0 na faixa visível ( 400   n m ≤ λ 0 ≤ 800   n m ). Mas para qualquer valor possível de m , teremos

λ 0 ≤ 300   n m

Sendo assim, não existe λ 0 no visível tal que a interferência seja construtiva se t = 100   n m .

Com isso terminamos o problema 😊!

Resposta

a) f 0 = f 1 = f 2 = 5 ⋅ 10 14   H z                   λ 1 = 400   n m                         λ 2 = 200   n m

b) t = 100   n m

c) Não existe.

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