Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

Ver Teoria

Enunciado

Seja um feixe de luz monocromática tal que seu campo elétrico representado por E → = 40   s e n   k x - ω t   z ^ + 80   s e n   k x - ω t   y ^   V / m . Um estudante faz algumas observações com um polarizador e com amostras de um cristal.

a) Inicialmente sem o cristal, incidindo o feixe de luz diretamente no polarizador e analisando a luz emergente, ele mede a intensidade da luz quando o polarizador está alinhado ao eixo z . Qual a intensidade observada, comparada com a incidente?

b) Incidindo o feixe sobre a superfície do cristal, para um ângulo de incidência θ de 63,4 ° e então passando a luz refletida pelo polarizador, ele observa que a luz está polarizada no eixo z . Qual é o índice de refração do cristal e com que ângulo a luz é refratada dentro do cristal?

c) Incidindo o feixe na direção normal à superfície de uma lâmina desse cristal, suspensa na atmosfera, o estudante observa que não há luz refletida pela superfície. Sabendo que o comprimento de onda da luz é 640   n m e que a espessura da lâmina está no intervalo 0,9 - 1,1   μ m , encontre essa espessura.

(Para não do resultado do item anterior, tome n c r i s t a l = 2,0 ).

Passo 1

Fala pessoal, prontos para uma questão de física 4?

No item (a) vamos brincar um pouco com a polarização da luz! Você precisa saber que a polarização da luz nada mais é que a direção do vetor campo elétrico. Nesse caso, o campo elétrico da luz incidente é

E → a n t e s = 40   s e n   k x - ω t   z ^ + 80   s e n   k x - ω t   y ^

Após passar pelo polarizador, como este está alinhado na direção z , apenas a componente z do campo elétrico sobrevive:

E → d e p o i s = 40   s e n   k x - ω t   z ^

O exercício quer saber a razão da intensidade da luz que atravessa o polarizador com relação a luz que incidiu nele. Para achar isso, temos que lembrar que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo, de modo que

I d e p o i s I a n t e s = E → d e p o i s 2 E → a n t e s 2

Passo 2

O quadrado do campo depois de passar pelo polarizador é fácil de achar já que ele só tem componente z :

E → d e p o i s 2 = 40   s e n   k x - ω t 2 = 40 2   s e n 2 k x - ω t

Já para o campo incidente, temos

E → a n t e s 2 = 40   s e n   k x - ω t 2 + 80   s e n   k x - ω t 2 = 40 2 + 80 2 s e n 2 k x - ω t

Logo,

I d e p o i s I a n t e s = 40 2   s e n 2 k x - ω t 40 2 + 80 2 s e n 2 k x - ω t

Simplificando o fator seno ao quadrado:

I d e p o i s I a n t e s = 1600 1600 + 6400 = 16 80 = 0,2

Portanto,

I d e p o i s = 20 %   I a n t e s

Isso significa que a intensidade do feixe se reduziu a 20% da intensidade original ao passar pelo polarizador.

Passo 3

Agora vamos para o item (b)!

Esse é um clássico problema sobre o ângulo de Brewster! O ângulo de Brewster é o ângulo de incidência que a luz deve ter para que quando refletida tenha polarização normal ao plano de incidência. Nesse caso, a direção normal ao plano de incidência é a direção z .

Portanto, quando o problema diz que o raio refletido tem polarização na direção z , o ângulo θ = 63,4 ° é o ângulo de Brewster!

A expressão para o ângulo de Brewster é

tan ⁡ θ B = n c r i s t a l n a r

Portanto,

n c r i s t a l = n a r tan ⁡ θ B

Como n a r = 1 , segue que

n c r i s t a l = tan ⁡ 63,4 ° = 1,997

Passo 4

Vamos terminar o problema com o item (c)! No item anterior achamos que o índice de refração do cristal é 1,997 . Acontece que no enunciado do item (c) ele pediu para considerarmos n c r i s t a l = 2,0 .

Esse item é sobre interferência! Vamos considerar a seguinte situação:

PS: o problema disse que a incidência era normal, porém representei ela inclinada para ficar mais fácil de visualizar a situação. Mas tenha em mente que todos esses raios deveriam estar desenhados na vertical!

A luz incidente sobre o cristal é parcialmente refletida (raio 1) e parcialmente refratada. A parte refratada será refletida em (B) na interface entre o cristal e o ar e depois retornará para o ar (raio 2). Os raios 1 e 2 vão interferir destrutivamente de modo que não será observada luz refletida. O exercício quer que achemos a espessura do cristal para que isso ocorra!

Para fazer isso, temos que calcular a diferença de fase entre os raios 1 e 2. Essa diferença de fase terá duas contribuições!

A primeira contribuição vem do fato de haver inversão de fase na reflexão (A) mas não haver inversão na reflexão (B). Isso significa que devemos somar um fator π na defasagem! Lembre-se que a inversão de fase ocorre quando a reflexão ocorre de um meio com índice de refração menor para um meio com índice de refração maior!

A outra contribuição vem da diferença de caminho. Nesse caso, a diferença de caminha do raio 2 com relação ao raio 1 é simplesmente o dobro da espessura do cristal:

d i f e r a n ç a   d e   c a m i n h o = 2 L

Com todas essas informações, temos que a diferença de fase é

Δ ϕ = k c i r s t a l ⋅ 2 L + π

A defasagem devido a diferença de caminho é o número de onda vezes a diferença de caminho e somamos o fator π devido a inversão de fase na reflexão (A)! Usando que

k c r i s t a l = 2 π λ c r i s t a l ,

temos que

Δ ϕ = 2 π λ c r i s t a l ⋅ 2 L + π = π 4 L λ c r i s t a l + 1

Passo 5

O exercício forneceu o comprimento de onda da luz no ar λ a r = 640   n m . Como relacionar isso com o comprimento da luz no cristal? A boa e velha refração!

Sabemos que quando uma onda refrata, sua velocidade e comprimento de onda mudam, porém sua frequência é inalterada. Desta forma,

f = c λ a r = v c r i s t a l λ c r i s t a l

Lembre-se que v = λ f e que no ar v a r = c é a velocidade da luz no vácuo! Assim, temos que

λ c r i s t a l = λ a r v c r i s t a l c = λ a r n c r i s t a l ,

pois n = c / v . Substituindo isso na relação para a defasagem:

Δ ϕ = π 4 L n c r i s t a l λ a r + 1

Passo 6

Estamos quase acabando, falta pouco!

Para que a interferência seja destrutiva, devemos ter

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Isso significa que a defasagem deve ser um múltiplo ímpar de π . Portanto,

2 m + 1 = 4 L n c r i s t a l λ a r + 1 → L = m λ a r 2 n c r i s t a l

Substituindo os valores:

L = m ⋅ 640   n m 2 ⋅ 2 = m ⋅ 160   n m

Convertendo para μ m :

L = m ⋅ 0,16   μ m

A espessura deve estar entre 0,9   μ m e 1,1   μ m . Assim,

0,9 < 0,16 m < 1,1

0,9 0,16 < m < 1,1 0,16

5,6 < m < 6,8

Isso significa que devemos ter m = 6 pois m é inteiro! Portanto, a espessura será

L = 6 ⋅ 0,16 = 0,96   μ m

Com isso terminamos o problema 😊!

Resposta

I d e p o i s = 20 %   I a n t e s

n c r i s t a l = 1,997

L = 0,96   μ m

Exercícios de Livros Relacionados

Exercício de Livro
Um filme de óleo com índice de refração de 1,45 flutua na água. Quando iluminado por luz branca em incidência normal, luz com comprimento de onda de 700n m e 500n m predomina na reflexão. Determine a
Um filme de óleo com índice de refração de 1,45 repousa sobre uma superfície de vidro opticamente plana que tem índice de refração de 1,60 . Quando iluminado com luz branca em incidência normal, luz c
Qual é a espessura mínima de uma película de sabão (excluindo o caso da espessura nula) para que se forme uma franja escura quando iluminada por luz de comprimento de onda igual a 480n m ? O índice de
Reflexão em filmes finos. Na Fig. 35-41, a luz incide perpendicularmente em um filme fino de um material 2 que está entre as placas (espessas) dos materiais 1 e 3. (Os raios foram desenhados com uma p