Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

Física 4 – PUC RJ – 2019.1 – P1 – Questão 2

Seja um feixe de luz monocromática tal que seu campo elétrico representado por E → = 40   s e n   k x - ω t   z ^ + 80   s e n   k x - ω t   y ^   V / m . Um estudante faz algumas observações com um polarizador e com amostras de um cristal.

a) Inicialmente sem o cristal, incidindo o feixe de luz diretamente no polarizador e analisando a luz emergente, ele mede a intensidade da luz quando o polarizador está alinhado ao eixo z . Qual a intensidade observada, comparada com a incidente?

b) Incidindo o feixe sobre a superfície do cristal, para um ângulo de incidência θ de 63,4 ° e então passando a luz refletida pelo polarizador, ele observa que a luz está polarizada no eixo z . Qual é o índice de refração do cristal e com que ângulo a luz é refratada dentro do cristal?

c) Incidindo o feixe na direção normal à superfície de uma lâmina desse cristal, suspensa na atmosfera, o estudante observa que não há luz refletida pela superfície. Sabendo que o comprimento de onda da luz é 640   n m e que a espessura da lâmina está no intervalo 0,9 - 1,1   μ m , encontre essa espessura.

(Para não do resultado do item anterior, tome n c r i s t a l = 2,0 ).

Passo 1

Fala pessoal, prontos para uma questão de física 4?

No item (a) vamos brincar um pouco com a polarização da luz! Você precisa saber que a polarização da luz nada mais é que a direção do vetor campo elétrico. Nesse caso, o campo elétrico da luz incidente é

E → a n t e s = 40   s e n   k x - ω t   z ^ + 80   s e n   k x - ω t   y ^

Após passar pelo polarizador, como este está alinhado na direção z , apenas a componente z do campo elétrico sobrevive:

E → d e p o i s = 40   s e n   k x - ω t   z ^

O exercício quer saber a razão da intensidade da luz que atravessa o polarizador com relação a luz que incidiu nele. Para achar isso, temos que lembrar que a intensidade é proporcional ao quadrado do campo, de modo que

I d e p o i s I a n t e s = E → d e p o i s 2 E → a n t e s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O quadrado do campo depois de passar pelo polarizador é fácil de achar já que ele só tem componente z :

E → d e p o i s 2 = 40   s e n   k x - ω t 2 = 40 2   s e n 2 k x - ω t

Já para o campo incidente, temos

E → a n t e s 2 = 40   s e n   k x - ω t 2 + 80   s e n   k x - ω t 2 = 40 2 + 80 2 s e n 2 k x - ω t

Logo,

I d e p o i s I a n t e s = 40 2   s e n 2 k x - ω t 40 2 + 80 2 s e n 2 k x - ω t

Simplificando o fator seno ao quadrado:

I d e p o i s I a n t e s = 1600 1600 + 6400 = 16 80 = 0,2

Portanto,

I d e p o i s = 20 %   I a n t e s

Isso significa que a intensidade do feixe se reduziu a 20% da intensidade original ao passar pelo polarizador.

Passo 3

Agora vamos para o item (b)!

Esse é um clássico problema sobre o ângulo de Brewster! O ângulo de Brewster é o ângulo de incidência que a luz deve ter para que quando refletida tenha polarização normal ao plano de incidência. Nesse caso, a direção normal ao plano de incidência é a direção z .

Portanto, quando o problema diz que o raio refletido tem polarização na direção z , o ângulo θ = 63,4 ° é o ângulo de Brewster!

A expressão para o ângulo de Brewster é

tan ⁡ θ B = n c r i s t a l n a r

Portanto,

n c r i s t a l = n a r tan ⁡ θ B

Como n a r = 1 , segue que

n c r i s t a l = tan ⁡ 63,4 ° = 1,997

Passo 4

Vamos terminar o problema com o item (c)! No item anterior achamos que o índice de refração do cristal é 1,997 . Acontece que no enunciado do item (c) ele pediu para considerarmos n c r i s t a l = 2,0 .

Esse item é sobre interferência! Vamos considerar a seguinte situação:

PS: o problema disse que a incidência era normal, porém representei ela inclinada para ficar mais fácil de visualizar a situação. Mas tenha em mente que todos esses raios deveriam estar desenhados na vertical!

A luz incidente sobre o cristal é parcialmente refletida (raio 1) e parcialmente refratada. A parte refratada será refletida em (B) na interface entre o cristal e o ar e depois retornará para o ar (raio 2). Os raios 1 e 2 vão interferir destrutivamente de modo que não será observada luz refletida. O exercício quer que achemos a espessura do cristal para que isso ocorra!

Para fazer isso, temos que calcular a diferença de fase entre os raios 1 e 2. Essa diferença de fase terá duas contribuições!

A primeira contribuição vem do fato de haver inversão de fase na reflexão (A) mas não haver inversão na reflexão (B). Isso significa que devemos somar um fator π na defasagem! Lembre-se que a inversão de fase ocorre quando a reflexão ocorre de um meio com índice de refração menor para um meio com índice de refração maior!

A outra contribuição vem da diferença de caminho. Nesse caso, a diferença de caminha do raio 2 com relação ao raio 1 é simplesmente o dobro da espessura do cristal:

d i f e r a n ç a   d e   c a m i n h o = 2 L

Com todas essas informações, temos que a diferença de fase é

Δ ϕ = k c i r s t a l ⋅ 2 L + π

A defasagem devido a diferença de caminho é o número de onda vezes a diferença de caminho e somamos o fator π devido a inversão de fase na reflexão (A)! Usando que

k c r i s t a l = 2 π λ c r i s t a l ,

temos que

Δ ϕ = 2 π λ c r i s t a l ⋅ 2 L + π = π 4 L λ c r i s t a l + 1

Passo 5

O exercício forneceu o comprimento de onda da luz no ar λ a r = 640   n m . Como relacionar isso com o comprimento da luz no cristal? A boa e velha refração!

Sabemos que quando uma onda refrata, sua velocidade e comprimento de onda mudam, porém sua frequência é inalterada. Desta forma,

f = c λ a r = v c r i s t a l λ c r i s t a l

Lembre-se que v = λ f e que no ar v a r = c é a velocidade da luz no vácuo! Assim, temos que

λ c r i s t a l = λ a r v c r i s t a l c = λ a r n c r i s t a l ,

pois n = c / v . Substituindo isso na relação para a defasagem:

Δ ϕ = π 4 L n c r i s t a l λ a r + 1

Passo 6

Estamos quase acabando, falta pouco!

Para que a interferência seja destrutiva, devemos ter

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Isso significa que a defasagem deve ser um múltiplo ímpar de π . Portanto,

2 m + 1 = 4 L n c r i s t a l λ a r + 1 → L = m λ a r 2 n c r i s t a l

Substituindo os valores:

L = m ⋅ 640   n m 2 ⋅ 2 = m ⋅ 160   n m

Convertendo para μ m :

L = m ⋅ 0,16   μ m

A espessura deve estar entre 0,9   μ m e 1,1   μ m . Assim,

0,9 < 0,16 m < 1,1

0,9 0,16 < m < 1,1 0,16

5,6 < m < 6,8

Isso significa que devemos ter m = 6 pois m é inteiro! Portanto, a espessura será

L = 6 ⋅ 0,16 = 0,96   μ m

Com isso terminamos o problema 😊!

Resposta

I d e p o i s = 20 %   I a n t e s

n c r i s t a l = 1,997

L = 0,96   μ m

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