Exercícios Resolvidos de Interferência em Filmes Finos

USP, Física 4, P1 2017.2, 2 parte1

Um filme fino de espessura t variável e índice de refração n2 é iluminado por luz

monocromática de comprimento de onda que no vácuo é igual a λ 0 . O filme encontra-se

imerso em um meio cujo índice de refração n 1   <   n 2 . Observa-se a interferência

dos raios 1 e 2 provenientes da reflexão da luz nas superfícies superior e inferior do

filme, conforme a figura. Considere incidência normal.

a)Calcule o valor a mínimo da espessura do filme para que a intensidade

da luz observada seja máxima.

b)Calcule o valor b mínimo da espessura do filme para que a intensidade da luz observada seja mínima.

Passo 1

Nesse caso estamos analisando a interferência em filmes finos e nesse primeiro caso o nosso objetivo é o seguinte.

Qual deve ser a espessura do nosso filme para que a interferência entre os nossos raios observados seja máximo.

Vamos lembrar o seguinte, sempre que um raio de luz passa de um meio com índice de refração menor para um maior, na reflexão teremos mudança de fase, nunca na refração e nunca quando passamos de um meio mais refringente para um menos refringente, então se chamarmos de uma fase e de a mudança, teremos.

Logo pela figura sabemos que entre os raios 1 e 2 temos uma diferença de fase, que por reflexão sempre é dado por um fator

φ = π

Também precisamos lembrar que a variação de fase por caminho é dada por

δ φ =   ∆ r   .     2 π λ

Em que ∆ r   é a variação de caminho entre as luzes, para o raio 2 teremos

δ φ =   2 a   .   2 π λ 2

Pelo desenho vemos que o raio 1 sofre uma diferença de fase por reflexão, exatamente por ser pela passagem de uma meio mais refringente para um mais refringente.

δ φ = π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas pensa no seguinte, queremos que essas ondas sejam construtivas, logo a diferença de fase por reflexão e por caminho percorrido deve ser um múltiplo de 2 π , com isso a diferença de fase será dada pela fórmula

2 a   .   2 π λ 2 -   π =   2 π m

4 a λ 2 -   1 π =   2 π m

4 a λ 2 -   1 =   2 m

Isolando o valor de a teremos

a = λ 2 2 m +   1 2

Mas antes de tudo tome o seguinte cuidado, pois o comprimento de onda dado no enunciado se refere ao comprimento de onda no vácuo, enquanto que o que está na fórmula se refere ao comprimento de onda no meio, mas fique tranquilo, sabemos que

n 2 = λ 0 λ 2

Logo

λ 2 = λ 0 n 2

Substituindo esse valor na nossa conta teremos que

a = λ 0 2 n 2 m +   1 2

Como queremos a espessura mínima, então faremos m=0

a = λ 0 4 n 2

Passo 3

Na letra b queremos que a espessura seja mínima, mas agora com uma interferência destrutiva.

Sabemos que a diferença de fase por caminho percorrido é dada por

δ φ =   2 b   .   2 π λ 2

E que a diferença de fase devido a reflexão de um meio menos refringente para uma mais refringente é

δ φ = π

Mas como já foi mencionado, essa variação deve ser destrutiva. Mas pensa comigo, se para ser construtiva deve ser um múltiplo de 2 π para ser destrutiva deverá ser um múltiplo de π .

Mas aqui devemos tomar o seguinte cuidado, pois para ser múltiplo de π não basta apenas fazer m π pois para o caso de m = 2 a interferência seria construtiva.

Logo a forma correta de fazermos um múltiplo de π é da seguinte maneira

( 2 m + 1 ) π

Pois nesse caso, independente do valor de m teremos múltiplos de π .

Passo 4

Vamos agora resolver o problema do nosso exercício pois sabemos que a diferença de fase deve ser um múltiplo inteiro de π , usando o que já sabemos sobre o caminho percorrido e a diferença de fase termos.

2 b   .   2 π λ 2 -   π = ( 2 m + 1 ) π

4 b λ 2 -   1 π =   ( 2 m + 1 ) π

4 b λ 2 -   1 =   ( 2 m + 1 )

Isolando o valor de b teremos

b = 2 λ 2 ( m + 1 ) 4

Lembrando de trocar λ 2

λ 2 = λ 0 n 2

Teremos que

b = λ 0 ( m + 1 ) 2 n 2

como queremos a espessura mínima faremos m=0

b = λ 0 2 n 2

Resposta

a) a = λ 0 4 n 2

b) b = λ 0 2 n 2

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