Considere uma espira circular, de raio a , na presença de um campo magnético constante (uniforme e estacionário) B → = B 0 z ^ , como mostra a figura. O vetor unitário n ^ , perpendicular ao plano da espira, forma um ângulo θ com o vetor unitário z ^ . Através da espira, circula uma corrente estacionária de intensidade I , no sentido anti-horário. Determine o fluxo do campo magnético através da espira, o módulo da força magnética e o módulo do torque resultantes sobre ela.

  1. Φ B = 0 , F = 0 , τ = I B π a 2 sen ⁡ θ
  2. Φ B = B π a 2 , F = 0 , τ = I B π a 2
  3. Φ B = B π a 2 cos ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2
  4. Φ B = B π a 2 , F = 2 I a B , τ = 0
  5. Φ B = B π a 2 cos ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2 sen ⁡ θ
  6. Φ B = B π a 2 sen ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2 cos ⁡ θ

Passo 1

A fórmula do fluxo magnético é:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Fazendo o produto escalar:

B → ∙ d A → = B d A cos ⁡ θ

Como o módulo de B → é constante e o ângulo θ também:

∬ S B d A cos ⁡ θ = B   cos θ ∬ S d A

A área da espira é conhecidamente π a 2 :

ϕ B = B π a 2 cos ⁡ θ

Passo 2

Depois disto vamos calcular o torque pois é mais fácil:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o vetor momento de dipolo, que é o produto do vetor área pela corrente:

μ → = I A → = I π a 2 n ^

Passo 3

Sabendo que B → = B z ^ , fazemos o produto vetorial puxando as constantes para fora:

τ → = I π a 2 B n ^ × z ^

Aplicando a definição do produto vetorial:

τ → = I π a 2 B   sen θ v ^

Onde v ^ é o unitário que dá a direção do produto calculado. Nós não sabemos pra onde ele aponta, mas tampouco isto importa, pois queremos o módulo:

τ = I π a 2 B   sen θ

Passo 4

Dados esses valores encontrados podemos analisar as alternativas e ver que a única possível é a letra e. Mas para efeito didático vamos calcular a força...

A força magnética sobre a espira pode ser calculada com a expressão:

F → = ∫ espira   I d l → × B →

Temos que d l → é um vetor infinitesimal de trajetória tangente à espira em todos os pontos:

d l → = d x , d y , d z

Passo 5

Fazendo o produto vetorial:

d l → × B → = i ^ j ^ k ^ d x d y d z 0 0 B

Que resulta em:

d l → × B → = B d y , - d x , 0

Realizando a integral, lembrando que ela é fechada pois a espira é um circuito fechado:

F → = I B ∮ d y , - d x , 0

Passo 6

Na integral de um circuito fechado o primeiro ponto é igual ao último:

x i , y i = x f , y f

Logo:

Δ x = Δ y = 0

Pela definição de integral:

F → = I B ∮ d y , ∮ - d x , 0

F → = I B Δ y , - Δ x , 0

F → = I B 0,0 , 0

F → = 0 →

Ou seja, a força de um campo estacionário num circuito fechado é nula.

Resposta

Letra e

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Determine o fluxo magnético através de um solenoide de 800 voltas que tem comprimento igual a 30,0c m , raio igual a 1,00c m e conduz uma corrente de 2,00 A .
Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v