Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

Forças e Torque sobre uma Espira

Considere uma espira circular, de raio a , na presença de um campo magnético constante (uniforme e estacionário) B → = B 0 z ^ , como mostra a figura. O vetor unitário n ^ , perpendicular ao plano da espira, forma um ângulo θ com o vetor unitário z ^ . Através da espira, circula uma corrente estacionária de intensidade I , no sentido anti-horário. Determine o fluxo do campo magnético através da espira, o módulo da força magnética e o módulo do torque resultantes sobre ela.

  1. Φ B = 0 , F = 0 , τ = I B π a 2 sen ⁡ θ
  2. Φ B = B π a 2 , F = 0 , τ = I B π a 2
  3. Φ B = B π a 2 cos ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2
  4. Φ B = B π a 2 , F = 2 I a B , τ = 0
  5. Φ B = B π a 2 cos ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2 sen ⁡ θ
  6. Φ B = B π a 2 sen ⁡ θ , F = 0 , τ = I B π a 2 cos ⁡ θ

Passo 1

A fórmula do fluxo magnético é:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Fazendo o produto escalar:

B → ∙ d A → = B d A cos ⁡ θ

Como o módulo de B → é constante e o ângulo θ também:

∬ S B d A cos ⁡ θ = B   cos θ ∬ S d A

A área da espira é conhecidamente π a 2 :

ϕ B = B π a 2 cos ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois disto vamos calcular o torque pois é mais fácil:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o vetor momento de dipolo, que é o produto do vetor área pela corrente:

μ → = I A → = I π a 2 n ^

Passo 3

Sabendo que B → = B z ^ , fazemos o produto vetorial puxando as constantes para fora:

τ → = I π a 2 B n ^ × z ^

Aplicando a definição do produto vetorial:

τ → = I π a 2 B   sen θ v ^

Onde v ^ é o unitário que dá a direção do produto calculado. Nós não sabemos pra onde ele aponta, mas tampouco isto importa, pois queremos o módulo:

τ = I π a 2 B   sen θ

Passo 4

Dados esses valores encontrados podemos analisar as alternativas e ver que a única possível é a letra e. Mas para efeito didático vamos calcular a força...

A força magnética sobre a espira pode ser calculada com a expressão:

F → = ∫ espira   I d l → × B →

Temos que d l → é um vetor infinitesimal de trajetória tangente à espira em todos os pontos:

d l → = d x , d y , d z

Passo 5

Fazendo o produto vetorial:

d l → × B → = i ^ j ^ k ^ d x d y d z 0 0 B

Que resulta em:

d l → × B → = B d y , - d x , 0

Realizando a integral, lembrando que ela é fechada pois a espira é um circuito fechado:

F → = I B ∮ d y , - d x , 0

Passo 6

Na integral de um circuito fechado o primeiro ponto é igual ao último:

x i , y i = x f , y f

Logo:

Δ x = Δ y = 0

Pela definição de integral:

F → = I B ∮ d y , ∮ - d x , 0

F → = I B Δ y , - Δ x , 0

F → = I B 0,0 , 0

F → = 0 →

Ou seja, a força de um campo estacionário num circuito fechado é nula.

Resposta

Letra e

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