Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar como calculamos o limite de uma sequência a n n = 1 ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n

No nosso caso, ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n π 2

Se esse limite existe e for um número, a sequência converge e o limite dela é este número. Caso contrário, ela diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perceba que estamos lidando com uma função periódica. Você multiplicar ou dividir o ângulo ali dentro do cosseno não muda em nada o fato dele ser periódico, você só muda o período. Dá uma olhada no gráfico:

Note que estamos vendo a função, que aceita um n que não seja inteiro. Porém, a função se comporta igualmente a sequência, pros casos de n inteiro, então a gente pode tentar visualizar como se fossem a mesma coisa sem problemas!

Agora olhe os dois juntos:

Viu só? Apenas mudou o período. Continua sendo periódica e, sendo assim, o limite não existe, pois fica variando entre - 1 e 1 .

Resposta

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n π 2 = ∄

O limite não existe.

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