1) Seja a n uma sequência definida pelas seguintes relações: a n + 1 = a n para todo n ∈ N e a 1 = 1 64 .

iii) Determine seu limite.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos determinar o limite da sequência a n nada por a n + 1 = a n com n ∈ N e sabendo que a 1 = 1 64 .

Sacou, bora começar! 😁

O limite de uma sequência é obtido fazendo n tendendo a .

O resultado que vamos obter é o valor para qual a sequência converge, ou seja, conforme os termos aumentam, a sequência vai tendendo a um valor e esse valor é o resultado do limite que vamos encontrar.

Porém, ainda não temos a fórmula geral para o termo a n então como vamos obter esse limite?

Bora lá! 😎

Passo 2

O que temos é que dado que o termo a 1 = 1 64 e a sequência segue a solução a n + 1 = a n , temos

a n = a n - 1

Ou seja, o termo anterior é a raiz do termo atual, logo, podemos escrever os primeiros termos da sequência como

S = 1 4069 , 1 64 , 1 8 , 1 2 2 …

Perceba que conforme os termos vão passando, o numerador diminui. Ou seja, nossa sequência é crescente.

Porém, perceba que essa crescente é amortecida rapidamente já que o denominador sempre vai diminuindo em um ritmo cada vez menor.

Se continuássemos a escrever os termos dessa sequência, iriamos perceber que o denominador iria se aproximar cada vez mais de 1 .

Logo, resultando em 1 / 1 no limite.

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

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23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.40. a n = t g - 1 n n
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.51. a n = a r ct g ( ln ⁡ n )
19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n