Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

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Enunciado

Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente, e caso convergente, determine o seu limite:

a n = n + 3 n + 2 n

Passo 1

Para saber se uma sequência converge, basta calcular o seu limite, então fica:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n

Repara que temos

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = ∞ ∞ ∞

Mil indeterminações né? Vamos começar arrumando o ∞ / ∞ , para isso colocamos o maior grau desses polinômios em eviência

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 3 n n 1 + 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n 1 + 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Isso ainda é uma indeterminação, mas temos dois limites que lembram o limite fundamental exponencial.

Passo 2

Vamos começar com

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n

Aqui, temos que fazer

3 n = 1 u → n = 3 u

O nosso limite vai ficar

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3 = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 3

Aquele limite vai ser e . Então vamos ter

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n = e 3

Passo 3

Agora

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Aqui, temos que fazer

2 n = 1 v → n = 2 v

O nosso limite vai ficar

lim v → ∞ ⁡ 1 + 1 v 2 v = lim v → ∞ ⁡ 1 + 1 v v 2 = lim v → ∞ ⁡ 1 + 1 v v 2

Aquele limite vai ser e . Então vamos ter

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n = e 2

Passo 4

Voltando para o limite da nossa sequência temos

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = e 3 e 2 = e

Isso diz que a nossa sequência converge para e

Resposta

Converge e o valor do limite é e

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = e 1 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. n 2 e - n