Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

Passo 1

Primeiro vamos escrever essa sequencia de uma forma mais organizada.

O primeiro cara é 0,29

O segundo é o 0,29 somado com 0,008

O terceiro é o segundo somado com 0,000 9

O quarto é o terceiro somado com 0,00008

E assim por diante

Assim:

a 1 = 0,29 a n + 1 = a n + 8 ⋅ 10 - n + 2 ,   n   í m p a r a n + 9 ⋅ 10 - n + 2 , n   p a r  

Dessa forma é fácil perceber que a sequência é crescente, já que a n + 1 > a n , não é mesmo?

Mais simples que isso, se você pensar no limite n → ∞ , o termo a n vai depender para uma dízima periódica que é algo que conhecemos bem.

Pelo teorema da série monótona, basta que a sequência seja limitada o que de fato acontece, pois ela é sempre menor que 0,3 então a sequência é convergente.

Vamos agora calcular o limite dessa sequência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tomar uma subsequência já que toda subsequência dessa sequência tem o mesmo limite. Então seja a sub sequência abaixo:

a 1 = 0,29 a n + 2 =   a n + 89 ⋅ 10 - n + 3 ,   n   í m p a r  

Assim, somando todos os elementos e cortando podemos escrever:

a k = 0,29 + 0,0089 + 0,000089 + … + 89 ⋅ 10 - k + 3

a k = 0,29 + 89 ⋅ 10 - 4 1 + 10 - 2 + 10 - 4 + 10 - 6 + … + 10 - k + 3

Esse monte de potências de 10 somadas entre parênteses nada mais é que uma soma de uma P.G. com razão 10 - 2 .

Dando uma arrumada

a k = 0,29 + 89 ⋅ 10 - 4 ∑ q = 0 k 10 - 2 q

Finalmente podemos tomar o limite da sequência:

lim k → ∞ ⁡ a k = 0,29 + 89 ⋅ 10 - 4 ∑ q = 0 ∞ 10 - 2 q

Fazendo a sima da P.G. infinita

lim k → ∞ ⁡ a k = 0,29 + 89 ⋅ 10 - 4 ⋅ 1 1 - 10 - 2

lim k → ∞ ⁡ a k = 148 495

Resposta

148 495

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