Em relação à sequência a n n ∈ N dada por

a n = ∫ 0 n 1 x 2 + 1 d x ,  

Tem se que:

Escolha uma opção:

  1. lim n → ∞ ⁡ a n = ∞
  2. lim n → ∞ ⁡ a n = 1
  3. lim n → ∞ ⁡ a n = 2
  4. lim n → ∞ ⁡ a n = π 2
  5. lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!

O problema nos deu uma sequência assim:

a n = ∫ 0 n 1 x 2 + 1 d x ,

Dizendo que s é positivo. E nos perguntou quanto é o limite do termo geral a n   dessa sequência quando n → ∞ .

Bom, o primeiro passo é descobrir quem é esse tal termo geral a n . A ideia aqui é fazer essa integral para determinar a expressão do termo geral

Sem seguida, com essa expressão na mão, calcular o limite quando n → ∞ .

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Analisando a integral:

a n = ∫ 0 n 1 x 2 + 1 d x

Esse integrando é do tipo 1 x 2 + a 2 com a = 1 , e a maneira para calcular esse tipo de integral é por substituição trigonométrica.

Vamos resolver a integral indefinida associada, depois voltar para a variável x e depois aplicar os limites, ok?

A substituição trigonométrica usa como auxiliar a relação fundamental trigonométrica para a tangente:

t g 2 a + 1 = sec 2 ⁡ a

Sendo assim, comparando com o que temos no integrando 1 x 2 + a 2 , temos que

x = t g   a

E sua derivada é

d x = sec 2 ⁡ a d a

Assim vou substituir na integral indefinida:

∫ 1 x 2 + 1 d x = ∫ 1 t g a 2 + 1 2 . sec 2 ⁡ a d a = ∫ sec 2 ⁡ a d a t g 2 a + 1

Mas sec 2 ⁡ a = t g 2 a + 1 , então a integral fica

∫ sec 2 ⁡ a d a sec 2 ⁡ a = ∫ d a = a = t g - 1 ( x )

Agora vamos voltar para a integral definida e colocar esse resultado e aplicar os limites:

∫ 0 n 1 x 2 + 1 d x = t g - 1 x 0 n = t g - 1 n - t g - 1 0 = t g - 1 n

Portanto a função para o termo geral é:

a n = t g - 1 n

Podemos agora calcular o limite quando n → ∞

Passo 3

Calculando o limite quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ t g - 1 n = t g - 1 ∞

Qual é o ângulo que nos dá um valor infinito na tangente? Bom, precisamos relembrar como escrevemos a tangente em termos do seno e do cosseno:

t g x = s e n x c o s x

Para termos um valor infinito, o denominador deve se aproximar de zero, ou seja, para qual valor de x o cosseno é zero? É quando ele se aproxima de π 2 .

Beleza?

Portanto

lim n → ∞ ⁡ a n = π 2

E a resposta que nos diz isso é a letra (d).

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( d )

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19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n