Em relação ao limite

- 1 n + - 1 n n  

É correto:

Escolha uma opção:

  1. Diverge para
  2. Não existe
  3. Converge para 1
  4. Diverge para - ∞
  5. Converge para 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema pediu para calcular o limite dessa sequência aí!

Sequências só admitem números inteiros, então olhando assim a gente teria que ir substituindo esse n por vários números e ir vendo o comportamento da sequência. Mas assim fica pouco complicado né?

A ideia aqui é se o valor que essa sequência assume quando n → ∞ é enoooooorme (daí ela diverge) ou não (como um número, aí ela converge).

E para fazer isso a gente pode usar uma definição muito útil que diz assim

Dizemos que uma sequência a n converge para o limite L se dado ϵ > 0 qualquer, existir um número inteiro positivo N , tal que a n - L < ϵ para n ≥ N . Neste caso, escrevemos

a n   = L

Dizemos que uma sequência diverge quando não converge para algum limite finito.

O QUÊ?

Calma!

Na prática essa definição quer dizer o seguinte: se associamos a n com uma função, exatamente igual, apenas trocando n por x , calculamos o limite quando x → ∞ . Se esse limite for um número, então essa sequência converge. Se for , essa sequência diverge.

Isso porque se a função converge, significa que a sequência também converge. É como se a sequência fosse um pedacinho da função, que só usasse os números inteiros de x , enquanto que uma função usa todos os outros números.

Passo 2

Trocando n por x no nosso limite temos:

- 1 n + - 1 n n   = - 1 x + - 1 x x  

E aí nosso problema virou calcular esse limite aí!

Bom, uma coisa que servia lá no cálculo 1 e que serve agora também é que o limite da soma (que é nosso caso) é a soma dos limites. Então vamos separar esse limite em dois:

- 1 x + - 1 x x   = - 1 x   ⏝ 1 º + - 1 x x   ⏝ 2 º

Agora vamos analisar cada termo individualmente para ver se essa sequência converge (e para onde) ou não ou se ela nem existe!

Passo 3

Analisando o primeiro termo

- 1 x   ⏝ 1 º

Esse - 1 x faz sentido quando x = n é inteiro, pois quando n é par, temos um número positivo, e quando n é ímpar, temos um número negativo na sequência. Mas quando falamos em função não mais, pois não conseguimos classificar a paridade (se é par ou ímpar) de um número com vírgula, por exemplo.

Então já com esse termo podemos afirmar que o limite não existe, pois não podemos calcular ele. Mesmo que o segundo termo a gente consiga.

O segundo termo

- 1 x x   ⏝ 2 º

Por mais que o termo - 1 x não faça muito sentido isoladamente, aqui ele está multiplicando o termo 1 x , e esse tende à zero quando x → ∞ , então essa parte do limite a gente poderia calcular e dizer que converge à zero.

Mas por causa daquele primeiro termo ali, isso não é verdade! Logo, esse limite não existe. Alternativa (b).

Até a próxima!

Resposta

( b )

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