(Cap. 11.1 – Ex. 51) Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = a r c t g ( ln ⁡ n )

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho? 😎😎

Lembre que para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite de a n com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Sendo assim, aplicando o limite na sequência em questão.

Passo 2

Dessa forma temos

lim n → ∞ ⁡ a r c t g ( ln ⁡ n )

Aqui basta substituirmos no limite o valor de no lugar de n . Nesse caso não aparecerá nenhum problema! Se fizermos a aplicação, temos:

lim n → ∞ ⁡ a r c t g ln ⁡ ∞

Se ln ⁡ ∞ = ∞ , então

l i m n → ∞ a r c t g   ( ∞ )

Lá da trigonometria, para que ângulo a tangente tende ao infinito? Sim, a resposta é π / 2 . Ou seja

lim n → ∞ ⁡ a r c t g ( ln ⁡ n ) = l i m n → ∞ a r c t g   ∞ = π 2

Sendo assim, vemos que a sequência converge para π / 2 .

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Bora praticar mais!

Resposta

a n = a r c t g ln ⁡ n   é convergente e converge para π / 2 .

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23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.40. a n = t g - 1 n n
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.51. a n = a r ct g ( ln ⁡ n )
19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n