Use frações parciais para calcular a soma da série

∑ n = 1 ∞   6 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular a soma da série

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞   6 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )

Vamos reescrever

∑ n = 1 ∞   6 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )

como

A ( 2 n - 1 ) + B ( 2 n + 1 )

Logo, fazendo o MMC temos

6 = A ( 2 n - 1 ) + B ( 2 n + 1 )

Logo,

A = - 3

B = 3

Então a fatoração em frações parciais é

∑ n = 1 ∞   6 ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞   - 3 ( 2 n - 1 ) + ∑ n = 1 ∞   3 ( 2 n + 1 )

Vamos abrir os três primeiros termos dessa série

3 ( ∑ n = 1 ∞   1 ( 2 n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞   - 1 ( 2 n - 1 ) ) = 3 ( 1 / 3 - 1 + 1 / 5 - 1 / 3 + 1 / 7 - 1 / 5 + ∑ n = 4 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) + - 1 ( 2 n - 1 ) )

Ou seja, temos uma soma telescópica. Logo

3 ( ∑ n = 1 ∞   1 ( 2 n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞   - 1 ( 2 n - 1 ) ) = - 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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