1 – Nos itens a seguir, determine quais sequencias numéricas a n convergem e quais divergem. Calcule o limite de cada sequência convergente.

b) a n = c o s 2 n e n , com n ∈ N .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Quando falamos que uma sequência a n converge, estamos dizendo que conforme n aumenta, a n tende a um valor constante, ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n = C

Assim, se C é um valor finito, a sequência converge, mas se C for ou - ∞ , a sequ��ncia diverge.

E é isso que estamos interessados em descobrir nessa questão! Queremos saber se a n = c o s 2 n e n converge ou diverge.

Bora ver! 😁

Passo 2

Calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ c o s 2 n e n

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a fração para deduzir certos comportamentos... por exemplo sabemos que c o s 2 n varia entre - 1 e 1 e e n é uma função exponencial que aumenta muito rápido conforme n aumenta.

Então podemos aplicar o teorema do confronto a partir de c o s 2 n , veja só

- 1 ≤ c o s 2 n ≤ 1

Dividindo todos os lados por e n , temos

- 1 e n ≤ c o s 2 n e n ≤ 1 e n

Como sabemos, e n cresce, ou seja

Então para n tendendo ao infinito, e n tende a , aplicando o limite na inequação

l i m n → ∞ - 1 e n ≤ l i m n → ∞ c o s 2 n e n ≤ l i m n → ∞ 1 e n

Como temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, 1 e n e - 1 e n tendem a 0

0 ≤ l i m n → ∞ c o s 2 n e n ≤ 0

l i m n → ∞ c o s 2 n e n = 0

Com isso, vemos que a n converge para 0 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

l i m n → ∞ c o s 2 n e n = 0 , converge.

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