Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

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Enunciado

  1. Dê um exemplo de uma sequência x n que satisfaça as condições abaixo:
  • x n ≠ 12
  • x n não é monótona
  • x n → 12
  • Com a sequência x n do item b , calcule lim n → ∞ ⁡ g x n para g x = x 2 - 144 x - 12
  • Passo 1

    a )

    Primeiro vamos entender o que é uma sequência monótona, é bem simples, uma sequência monótona é uma sequência que é crescente ou decrescente para todos os termos.

    Então ele quer uma sequência que vá para 12 , não seja 12 e nem seja crescente ou decrescente.

    A minha ideia inicial era fazer

    x n = 12 + 1 n

    Porque 1 n vai para 0 , mas essa sequência é monótona, vou fazer um truque bem malandro para evitar que ela seja monótona, vou mudar o primeiro termo para algo menor que 12 , porque assim ela começa com esse número aumenta para 12 + 1 2 = 12,5 e depois vai diminuindo, ou seja não vai ser nem crescente nem decrescente.

    x n = 11 s e   n = 1 12 + 1 n s e   n ≠ 1  

    Pronto temos a nossa sequência como ele pediu.

    Passo 2

    b )

    Vamos usar as propriedades de limites

    lim n → ∞ ⁡ g x n = g lim n → ∞ ⁡ x n = g 12 = 12 2 - 144 12 - 12 = 0 0

    Temos que dar uma arrumada em g , repara que podemos reescrever g assim

    g x = x 2 - 144 x - 12 = x - 12 x + 12 x - 12 = x + 12

    Voltando ao limite

    lim n → ∞ ⁡ g x n = g lim n → ∞ ⁡ x n = g 12 = 12 + 12 = 24

    Pronto temos o limite, e ele vai ser 24

    Resposta

    1. x n = 11 s e   n = 1 12 + 1 n s e   n ≠ 1  
    2. 24

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    Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
    Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n
    Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = e 1 n
    Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. n 2 e - n