Suponha que a n > 0 para todo n ≥ 1 . Se

lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = R

Para R > 0 então qual é o valor de lim n → ∞ ⁡ a n n ?

Sugestão: Escreva

a n n = a 1 n a 2 a 1 a 3 a 2 … a n a n - 1 n

a) R

b) 1 R

c) R 2

d) 0

e) R

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter o valor do limite de a n n para n tendendo ao infinito. Dado que

lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = R

E R > 0 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

No enunciado do problema, nos deram uma dica do que podemos fazer.

Reescrevendo a n n como

a n n = a 1 n a 2 a 1 a 3 a 2 … a n a n - 1 n

Podemos retirar alguma informação importante.

Vamos investigar esse termo para verificar o que podemos encontrar!

Entendeu? Bora lá! ��

Passo 2

A partir dessa relação, vemos que a n é dado por

a n = a 1 1 · a 2 a 1 · a 3 a 2 · a 4 a 3 · a 5 a 4 …

Podemos encontrar alguma relação dessa sequência com lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = R ?

Perceba que o índice superior das frações é um valor a mais que o índice inferior, não é?

Se n tende ao infinito, podemos considerar que esse padrão que se forma é dado por a n + 1 a n n pois a série não var ter fim e o produto a n + 1 a n é repetido n vezes.

Portanto, podemos afirmar que

a n = a n + 1 a n n

Substituindo essa informação no limite de a n n , temos

lim n → ∞ ⁡ a n n → lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n n n

Simplificando a potência n com a raiz n - e s i m a ...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n n n → lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

E finalmente, comparando o limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n com lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 , vemos que uma é o inverso da outra.

Pelas propriedades de limites de sequencias, vemos que se

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ a n lim n → ∞ ⁡ b n = C

Então

lim n → ∞ ⁡ b n lim n → ∞ ⁡ a n = 1 C

Concorda?

Aplicando essa analogia para nosso caso já que o limite de a n a n + 1 é igual a R , o limite do seu inverso também resulta no inverso de R , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 R

Portanto, a alternativa correta é a letra b)!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

b) 1 R

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19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n