Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

USP, Cálculo 4, P1 - 2013, Questão 1aii

Calcule, justificando, o limite da seguinte sequência

x n = 1 2 n 4 n - 1 2 n + 3 n

Passo 1

Vamos fazer um algebrismo:

x n = 1 2 n 4 n 1 - 1 4 n 2 n 1 + 3 2 n n = 1 2 n 4 n 2 n n 1 - 1 4 n 1 + 3 2 n n = 1 - 1 4 n 1 + 3 2 n n

Isso ainda é uma indeterminação, mas temos dois limites que lembram o limite fundamental exponencial.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com

lim n 1 - 1 4 n n

Aqui, temos que fazer

- 1 4 n = 1 u n = - u 4

O nosso limite vai ficar

lim u - 1 + 1 u - u 4 = lim u - 1 + 1 u u - 1 4 = lim u - 1 + 1 u u - 1 4

Aquele limite de u vai ser e . Então vamos ter

lim n 1 - 1 4 n n = e - 1 4

Passo 3

Agora

lim n 1 + 3 2 n n

Aqui, temos que fazer

3 2 n = 1 v n = 3 v 2

O nosso limite vai ficar

lim v 1 + 1 v 3 v 2 = lim v 1 + 1 v v 3 2 = lim v 1 + 1 v v 3 2

Aquele limite vai ser e . Então vamos ter

lim n 1 + 3 2 n n = e 3 2

Passo 4

Voltando para o limite da nossa sequência temos

lim n a n = lim n 1 2 n 4 n - 1 2 n + 3 n = e - 1 4 e 3 2 = e - 1 4 - 3 2 = e - 7 4

Isso diz que a nossa sequência converge para e - 7 / 4

Resposta

e - 7 / 4

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