Exercícios Resolvidos de Limite de uma Sequência

USP, Cálculo 4, P2 - 2016, Questão 1A

Seja ( x n ) n   N   a sequência definida de forma recorrente por x n = 1 2 x n - 1 + 3 x n - 1 , para n > 1 e x 1 = 2 .

a   Supondo que a sequência ( x n ) n   N seja convergente, calcule seu limite.

Passo 1

Você já sabe que teremos que calcular um limite de sequêcias né? Lembra como se calcula isso?

lim n a n = L

Neste caso, a gente supõe que se a sequência tiver um limite, o “nome” dele vai ser L .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o que temos que fazer é calcular o limite de x n . Vamos ajeitar um pouco aquela equação, pro próximo passo ficar mais claro:

2 x n x n - 1 = x n - 1 2 + 3

Amigx, o enunciado supõe que a sequência é convergente, então o

lim n x n = L

Se a gente está tratando de um n muito grande, x n   e   x n - 1 tem que convergir pra L , ou seja, pro limite.

Passo 3

Beleza, agora vamos passar o limite em ambos os lados da equação acima, ok?

lim n 2 x n x n - 1 = lim n x n - 1 2 + 3

Se, no limite, todos os x tendem pra L , é só substituir:

2 L 2 = L 2 + 3

L = ± 3

Passo 4

Ops! Temos dois candidatos pro limite, e isso não pode existir. Pensa comigo, se existe um limite, esse cara tem que ser único (se não, não é um limite né?)

Vamos provar que L = 3 , mostrando que ( x n ) n   N é uma sequência de termos positivos. Aplicando o princípio da Indução Finita (nome bonito né?):

( i ) A primeira coisa que a questão fala é que x 1 = 2 , isso mostra que x 1 > 0 .

i i Supondo que x n > 0 , temos que x n + 1 = 1 2 x n + 3 x n > 0

Portanto, x n > 0 ,   n 1 e consequentemente lim n x n = L = 3

Resposta

lim n x n = L = 3

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