Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 19.

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x 0 .

Passo 1

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de f x :

f x = g x sen x = c o s x + 3 sen x ,     x < 0 x 2 - 9 sen x ,     x 0

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Passo 2

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x .

No primeiro limite, vou substituí-lo:

lim x 0 + x 2 - 9 sen x = 0 2 - 9 sen 0 = - 9 0 = ±

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

lim x 0 - c o s x + 3 sen x = c o s 0 + 3 sen 0 = 4 0 = ±

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x 0 + 1 sen x = +

Portanto,

lim x 0 + x 2 - 9 sen x = lim x 0 + x 2 - 9 lim x 0 + 1 sen x = - 9 + = -

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x 0 - 1 sen x = -

Portanto,

lim x 0 - c o s x + 3 sen x = lim x 0 - c o s x + 3 lim x 0 - 1 sen x = 4 -

= -

Resposta

lim x 0 + f x = -

lim x 0 - f x = -

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