Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 4a

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

Passo 1

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor L , se

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = L

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o ponto a = 0 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ f x = 2

Passo 3

Vamos repetir para a = 1 . Mas a função não está definida ali!! Isso não importa, o limite só está interessado na tendência da função e não no valor no ponto. Então, pelo gráfico

lim x → 1 - ⁡ f x = 8

lim x → 1 + ⁡ f x = 8

Assim,

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Passo 4

Vamos repetir para a = 2 . Aqui vamos analisar o gráfico com cuidado, porque

lim x → 2 - ⁡ f x = 3

lim x → 2 + ⁡ f x = 6

Pela definição que mostrei lá no passo 1, vemos que os laterais não batem. Então, o limite não existe.

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

Passo 5

Vamos para o ponto a = 3 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 3 - ⁡ f x = 1

lim x → 3 + ⁡ f x = 1

Assim,

lim x → 3 ⁡ f x = 1

Passo 6

Por último (ufa!), o ponto a = 4 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 4 - ⁡ f x = 7

lim x → 4 + ⁡ f x = 7

Assim,

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 2

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

lim x → 3 ⁡ f x = 1

lim x → 4 ⁡ f x = 7

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