1. Dada a função

g x = 5 x - 5 | x + 2 | , s e x ≠ - 2 1 , s e x = - 2

  1. Calcule o limite, caso exista:

lim x → - 2 ⁡ g ( x )

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho com você? Bora comigo resolver mais essa questão aqui?

E a primeira coisa que temos que fazer é entender o que a questão está querendo que a gente faça. Ela diz que existe uma função g ( x ) que é dada por partes dessa forma aqui:

g x = 5 x - 5 | x + 2 | , s e x ≠ - 2 1 , s e x = - 2

E ela pede para gente calcular esse limite aqui:

lim x → - 2 ⁡ g ( x )

Repare que é o limite da função quando x tende a - 2 , e como nossa função é dada por partes, precisaremos escolher certinho qual a parte que satisfaz a nossa necessidade na hora de calcular o limite. Isso porque a função tem duas condições:

g x = 5 x - 5 | x + 2 |   s e   x ≠ - 2

E

g x = 1   s e   x = - 2

Então, como queremos calcular o limite de x tendendo a - 2 , vamos precisar usar a primeira forma da função, já que o x não é exatamente igual a - 2 .

Show? Então é isso que faremos. Partiu? 😊

Passo 2

Agora que já sabemos qual a parte da função usar, basta calcular o limite pedido:

lim x → - 2 ⁡ g x

E para fazer isso, teremos que calcular os limites laterais. Ou seja, faremos

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 5 | x + 2 |

E

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 5 | x + 2 |

Teremos o limite da função g ( x ) , caso os limites laterais sejam possíveis de serem calculados e sejam iguais.

Passo 3

Vamos começar com o x tende a - 2 por valores à esquerda

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 5 | x + 2 | = 5 ( - 2 ) - 5 | ( x → - 2 - ) + 2 |

Repara que no denominador o x tende a - 2 por valores à esquerda, isso vai fazer com que o que está dentro do módulo fique cada vez mais próximo de 0 por valores negativos, mas como está dentro do módulo, podemos desconsiderar o negativo do denominador, ficando com:

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 5 x + 2 = - 15 0 -

E quando dividimos um valor negativo (o - 15 ) por um valor que dente a zero, essa divisão tenderá para - ∞ . Assim, dizemos que

lim x → - 2 - ⁡ 5 x - 5 x + 2 = - 15 0 - = - ∞

Show!

Passo 4

Agora vamos fazer o x tende a - 2 por valores à direita:

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 5 | x + 2 | = 5 ( - 2 ) - 5 | ( x → - 2 + ) + 2 |

Repara que no denominador o x tende a - 2 por valores à direita, isso vai fazer com que o que está dentro do módulo fique cada vez mais próximo de 0 por valores positivos, mas como está dentro do módulo nem precisaremos nos preocupar com o sinal do denominador, ficando com:

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 5 x + 2 = - 15 0 +

E quando dividimos um valor negativo (o - 15 ) por um valor que dente a zero, essa divisão tenderá para - ∞ . Assim, dizemos que

lim x → - 2 + ⁡ 5 x - 5 x + 2 = - 15 0 + = - ∞

Passo 5

Como os dois limites laterais são iguais, podemos montar nossa resposta dizendo que:

lim x → - 2 ⁡ g x = - ∞

Resposta

c)

lim x → - 2 ⁡ g ( x ) = - ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5