Mostre que a função z = f ( x , y ) não tem limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

( k )   z = x 2 - y 2 x 2 + y 2 ( l )   z = x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( k )   z = x 2 - y 2 x 2 + y 2 ( l )   z = x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 2 - y 2 x 2 + y 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 2 - y 2 x 2 + y 2 = x 2 - 0 2 x 2 + 0 2 = 1

o limite portanto é

l i m ( x , y = 0 ) → 0 1 = 1

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x 2 - y 2 x 2 + y 2 = x 2 - x 2 x 2 + x 2 = 0

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 0 = 0

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! Vamos para a próxima!

Passo 3

Temos agora o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2

Novamente, vamos nos aproveitar da liberdade de nos aproximar de qualquer direção. Primeiro, vamos sobre o eixo - x , ou seja, y = 0 , temos que o limite se torna

x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + 0 2 + 2 x 0 3 ( x 2 + 0 2 ) 2 = 1

o limite portanto é

l i m ( x , y = 0 ) → 0 1 = 1

Mas, e se viermos através de outro caminho, como por exemplo a reta y = x , temos que

x 4 + y 2 + 2 x y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + x 2 + 2 x x 3 ( x 2 + x 2 ) 2 = 3 x 4 + x 2 4 x 4

ou, simplesmente

3 x 4 + x 2 4 x 4 = 3 4 + 1 4 x 2

ou seja, o limite é agora tal que

l i m ( x , y = x ) → 0 3 4 + 1 4 x 2 = 3 4 + ∞ = ∞

Sendo assim, dois caminhos diferentes, levam a valores diferentes! E, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5