Mostre que a função z = f ( x , y ) não tem limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

( a )   z = x + y x 2 + y 2 ( b )   z = x x 2 + y 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos as duas funções

( a )   z = x + y x 2 + y 2 ( b )   z = x x 2 + y 2

e devemos calcular o limite de ambas quando ( x , y ) → ( 0,0 ) , mostrando assim que eles não existem! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o seguinte limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x + y x 2 + y 2

apenas substituindo valores ( 0,0 ) , temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Portanto, precisamos reescrever a função acima! Se usarmos coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

podemos escrever que

l i m ( r , θ ) → ( ? ) x + y x 2 + y 2 = l i m ( r , θ ) → ( ? ) r   c o s ( θ ) + r   s e n ( θ ) r 2 c o s 2 ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ )

Como temos que c o s 2 ( θ ) + s e n 2 ( θ ) = 1 , podemos simplificar esse limite da seguinte maneira

l i m ( r , θ ) → ( ? ) r   c o s ( θ ) + r s e n ( θ ) r 2 = l i m ( r , θ ) → ( ? ) c o s ( θ ) + s e n ( θ ) r

Como temos que c o s ( θ ) e s e n ( θ ) nunca são 0 simultaneamente, é necessário que r → 0 para que ( x , y ) → ( 0,0 ) , portanto, o nosso limite se torna

l i m r → 0 c o s ( θ ) + s e n ( θ ) r = ∞

Beleza! O primeiro já foi! Vamos para o próximo!

Passo 3

Temos agora o seguinte limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x x 2 + y 2

Este é bastante análogo ao anterior, temos por coordenadas polares que

l i m r → 0 r   c o s ( θ ) r 2 c o s 2 ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) = l i m r → 0 c o s ( θ ) r = ∞

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5