Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de   a para os quais

lim x → a ⁡ f ( x )

existe:

f x = 2 - x x < - 1 x - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 x > 1

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função. São 3 intervalos de função. Vamos fazer o seguinte, primeiro desenhar esse negócio aí. Temos a função de primeiro grau 2 - x quando x < - 1 então o gráfico antes de x igual a - 1 vai ser essa reta.

Na parte onde x está entre - 1 e 1 ele vai ser a reta y = x . E quando x > 1 vamos ter a parte da parábola x - 1 2 . O gráfico vai ficar então:

Passo 2

Passo 3

Então, já que a estrutura está montada, vamos olhar no gráfico os pontos onde

lim x → a ⁡ f ( x )

existe, ou seja, onde vale:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Passo 4

Cara, conseguimos ver que esses limites existirão para todos   x   em que a função não muda sua lei de formação.

Resumindo, para que o limite lateral seja igual, os pontos teriam que seguir o mesmo padrão dos dois lados ou ter o limite entre os pontos onde trocam-se os regimes de função dando a mesma coisa.

A princípio, todos os pontos fora - 1   e 1   terão limites laterais iguais. Resta saber se esses dois pontos têm limites laterais iguais.

Passo 5

Pelo desenho, vemos que:

lim x → - 1 + ⁡ f x =   lim x → - 1 + ⁡ x = - 1            

lim x → - 1 - ⁡ f x =   lim x → - 1 - ⁡ 2 - x = 3        

lim x → 1 + ⁡ f x =   lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 = 0            

lim x → 1 - ⁡ f x =   lim x → 1 - ⁡ x = 1        

Logo, vemos que os pontos - 1   e   1   não têm um limite, já que seus limites laterais são diferentes.

Resposta

a ≠ ± 1

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