Calcule os seguintes limites:

( a )   l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 ) ( b )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que calcular os seguintes limites

( a )   l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 ) ( b )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x

O primeiro, como veremos, é bastante direto! O segundo necessita de algumas propriedades dos limites e de um limite fundamental! Vem comigo!

Passo 2

Vamos calcular

l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 )

avaliando os limites em x = 1 e y = 0 , temos que

l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 ) = l o g ( 1 ( 0 ) + 1 ) = l o g ( 1 )

como temos que

l o g ( 1 ) = 0

O limite é simplesmente

l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 ) = 0

Beleza! Esse foi o primeiro! Vamos para o segundo agora!

Passo 3

Agora, precisamos calcular

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x

Vamos dividir o limite em duas partes

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x ) x

Como uma parte depende só de y , e a outra só de x , isso é equivalente à

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x ) x = l i m y → 0 ( y 2 - 1 ) l i m x → 0 s e n ( x ) x

Se lembrarmos o limite fundamental

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

obtemos que

l i m y → 0 ( y 2 - 1 ) l i m x → 0 s e n ( x ) x = ( 0 2 - 1 ) ( 1 ) = - 1

E, o nosso limite é simplesmente

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x = - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a ) l i m ( x , y ) → ( 1,0 ) l o g ( x y + 1 ) = 0 ( b ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y 2 - 1 ) s e n ( x ) x = - 1

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