Calcule os limites abaixo, se existirem

n )   lim x → 0 ⁡ 8 + x 3 - 2 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo certo? Vamos resolver essa junto?

Se a gente substituir x = 0 nesse limite vamos ter 0 / 0 , o que é uma indeterminação! Isso nos indica que precisamos manipular a função até levantar essa indeterminação, pois nesse ponto o limite não existe.

Olha os truques sujos vindo aí!

Quando temos uma raiz (ainda mais cúbica) a estratégia é: mudança de variável!

Vamos dizer que y = 8 + x 3 , sendo assim:

y = 8 + x 3

E elevando os dois lados ao cubo temos:

y 3 = x + 8

x = y 3 - 8

Bem mais simpático!

E daí temos que o numerador fica assim:

y 3 - 8 = ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 )

Mas calma, esse truque não tirei da manga, tirei daqui:

Podemos fazer isso tudo isso porque a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

viu! Baita truque sujo! Anota aí!

Passo 2

Daí podemos substituir nossa mudança de variáveis na função:

8 + x 3 - 2 x = y - 2 y 3 - 8 = y - 2 ( y - 2 ) ( y 2 + 2 y + 4 ) = 1 y 2 + 2 y + 4

E como   y = x - 8 3 , quando x → 0 , temos que   y → 2 .

Aí é só substituir no limite!

Passo 3

Trocando a função pela mais simples em y que achamos e fazendo y → 2 temos o seguinte

lim x → 0 ⁡ 8 + x 3 - 2 x = lim y → 2 ⁡ 1 y 2 + 2 y + 4 = 1 4 + 4 + 4 = 1 12

É isso mesmo! Acabou! Levantamos a indeterminação e esse limite é igual a 1 / 12 !

Espero ter ajudado!

Resposta

1 / 12

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