Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

Elaboração Própria

Dadas as duas funções abaixo:

Calcule os limites laterais dados abaixo e verifique se o limite existe, comparando os limites laterais:

a lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h x . g ( x )

b   lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h ∘ g ( x )

Passo 1

a Bom, vamos primeiro escrever as leis das funções. Vamos começar por h x :

A função h ( x ) é claramente uma função afim com equação:

h x = x

Já que:

h 4 = 4

Já a função g ( x ) é uma função modular bem simples, descrita por:

g x = 2 ,     x ≤ 4 6 ,                 x > 4

Vamos calcular primeiro os limites laterais de h ( x ) por serem mais tranquilos:

lim x → 4 + ⁡ x = 4 = lim x → 4 - ⁡ x = 4

Beleza, como você pode ver, eles são iguais.

A função g ( x ) vai gerar limites laterais diferentes:

lim x → 4 + ⁡ g x = 6

E:

lim x → 4 - ⁡ g x = 2

Show de bola?

Agora o vamos calcular os limites laterais de f ( x ) usando essas informações:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = lim x → 4 + ⁡ g x . lim x → 4 + ⁡ h x

Usamos ali a propriedade do limite de um produto. Agora é só a gente pegar os valores que calculamos:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 6.4 = 24

E agora:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = lim x → 4 - ⁡ g x . lim x → 4 - ⁡ h x

De novo:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 2.4 = 8

Show? Então, como os limites laterais são diferentes, o limite:

lim x → 4 ⁡ f x

Não existe.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Precisamos lembrar que:

f x = h ∘ g x = h g x

Beleza? Vamos usar os valores dos limites laterais do item anterior pra facilitar nossa vida.

Primeiro:

lim x → 4 + ⁡ h g x = h ( lim x → 4 + ⁡ g ( x ) ) = h ( 6 ) = 6

Já que:

h x = x

Da mesma forma:

lim x → 4 - ⁡ h g x = h ( lim x → 4 - ⁡ g ( x ) ) = h ( 2 ) = 2

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:

lim x → 4 ⁡ f ( x )

Não existe.

Resposta

a

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 24

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 8

E o limite não existe.

b

lim x → 4 + ⁡ h g x = 6

lim x → 4 - ⁡ h g x = 2

E o limite não existe.

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