Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 19.

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x ≥ 0 .

Passo 1

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de f x :

f x = g x sen ⁡ x = c o s x + 3 sen ⁡ x ,     x < 0 x 2 - 9 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

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Passo 2

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x ≥ 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x .

No primeiro limite, vou substituí-lo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = 0 2 - 9 sen ⁡ 0 = - 9 0 = ± ∞

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = c o s 0 + 3 sen ⁡ 0 = 4 0 = ± ∞

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = + ∞

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = - 9 + ∞ = - ∞

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = - ∞

Portanto,

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = 4 - ∞

= - ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

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