Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule

∫ x 2 x + 3 d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez uma questão mais direta. Queremos calcular

∫ x 2 x + 3 d x

E aí, como vamos começar?

Bora fazer uma substituição esperta, né? vamos fazer

u   =   x + 3   ⇒   d u = d x

e

x 2 = ( u - 3 ) 2

Então nossa integral fica

∫ x 2 x + 3 d x = ∫ ( u - 3 ) 2 u d u

Passo 2

Agora vamos resolver a integral

∫ ( u - 3 ) 2 u d u

desenvolvendo o produto notável

∫ ( u - 3 ) 2 u d u = ∫ u 3 / 2 - 6 u 1 / 2 + 9 u - 1 / 2 d u

Mas essas integrais são manjadas, já que são polinômios

Então

∫ u 3 / 2 - 6 u 1 / 2 + 9 u - 1 / 2 d u = 2 5 u 5 / 2 - 6 * 2 3 u 3 / 2   +   2 * 9 u 1 / 2

Passo 3

Chegamos a conclusão que

∫ u 3 / 2 - 6 u 1 / 2 + 9 u - 1 / 2 d u = 2 5 u 5 / 2 - 6 * 2 3 u 3 / 2   +   2 * 9 u 1 / 2

Como fizemos u   =   x + 3 retornando para a variável x a nossa integral fica

2 5 ( x + 3 ) 5 / 2 - 4 ( x + 3 ) 3 / 2   +   18 ( x + 3 ) 1 / 2

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

2 5 ( x + 3 ) 5 / 2 - 4 ( x + 3 ) 3 / 2   +   18 ( x + 3 ) 1 / 2

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