Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

k )   ∫ 4 x 4 + x + 1 x 5 + x 4 d x

Passo 1

Haja integral para resolver!! Vamo que vamo que uma hora a gente chega lá!!

Para essa integral vamos precisar reescrever nosso integrando utilizando um pouco de álgebra básica de forma que possamos identificar algumas primitivas! Também vamos precisar aplicar uma breve substituição simples!! Bora lá!!

Passo 2

Para começarmos vamos reescrever um pouco o nosso integrando! Saca só:

∫ 4 x 4 + x + 1 x 5 + x 4 d x = ∫ 4 x 4 x 5 + x 4 d x + ∫ x + 1 x 5 + x 4 d x = 4 ∫ x 4 x 4 x + 1 d x + ∫ x + 1 x 4 x + 1 d x

De forma que, temos:

∫ 4 x 4 + x + 1 x 5 + x 4 d x = 4 ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 1 x 4 d x           ( 1 )

Agora só precisamos identificar uma primitiva para a segunda integral e realizar uma substituição simples na primeira! Vamos lá!!

Passo 3

Para a primeira integral vamos fazer a substituição u = x + 1 e d u = d x , ou seja:

∫ 1 x + 1 d x = ∫ 1 u d u

Esta integral tem como primitiva, o seguinte:

∫ 1 u d u = ln ⁡ ( u ) + C

Ou, nas variáveis originais:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ ( x + 1 ) + C           ( 2 )

Vamos resolver a segunda integral agora!!

Passo 4

Aqui só precisamos identificar a seguinte primitiva:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Como temos que o integrando é 1 x 4 = x - 4 , temos n = - 4 , e, portanto:

∫ x - 4 d x = x - 4 + 1 - 4 + 1 + C = - 1 3 x - 3 + C           ( 3 )

Bora retornar para a nossa integral original!!

Passo 5

Substituindo a equação (2) e (3) na equação (1), temos:

∫ 4 x 4 + x + 1 x 5 + x 4 d x = 4 ln ⁡ ( x + 1 ) - 1 3 x - 3 + C

Aí está nossa resposta! Bora para a próxima alternativa! Te vejo daqui aa pouquinho!

Resposta

∫ 4 x 4 + x + 1 x 5 + x 4 d x = 4 ln ⁡ ( x + 1 ) - 1 3 x - 3 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x