Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

m )   ∫ x 2 4 x 2 - 9 d x

Passo 1

Mais uma! Bora lá!!

Para essa integral vamos utilizar uma relação trigonométrica que irá permitir que apliquemos uma substituição simples em nosso integrando, de forma a obter algumas integrais identificáveis em termos de primitivas! Sigam-me os bons!

Passo 2

É interessante para começar reescrever um pouco o nosso integrando, para isso vamos colocar algumas coisas em evidência dentro da raiz! Da seguinte maneira:

∫ x 2 4 x 2 - 9 d x = ∫ x 2 4 x 2 - 9 / 4 d x = 2 ∫ x 2 x 2 - 9 / 4 d x

Agora é possível identificar uma substituição trigonométrica conveniente para a nossa resolução! Vamos fazer isso!

Passo 3

O caso que temos aqui é do tipo:

x 2 - a 2  

Com a = 3 / 2 . Ou seja, é conveniente fazer uma substituição da forma:

x = 3 2 s e c s e c   θ             e             d x = 3 2 t a n t a n   θ   s e c s e c   ( θ )   d θ

Sendo assim, nosso integrando pode ser escrito como:

2 ∫ x 2 x 2 - 9 4 = 2 9 4 3 2 ∫ t a n t a n   ( θ )   θ   9 4 θ   - 9 4 d θ

Evidenciando algumas coisinhas e simplificando algumas outras, temos que:

27 4 3 2 ∫ ( θ )   t a n t a n   ( θ )   ( θ )   - 1 d θ = 81 8 ∫ ( θ )   t a n t a n   ( θ )   ( θ )   - 1 d θ

Vamos utilizar algumas relações trigonométricas agora! Belezinha?

Passo 4

Nós temos que:

( θ )   + 1 = ( θ )   → ( θ )   - 1 = θ             ( 1 )

Portanto, meu integrando é tal que:

81 8 ∫ ( θ )   t a n t a n   ( θ )   ( θ )   - 1 d θ = 81 8 ∫ ( θ )   ( θ )   d θ

Só precisamos reescrever esse integrando mais um pouquinho! Vem comigo!

Passo 5

Vamos usar a primeira igualdade da equação (1), olha o que obtemos:

81 8 ∫ θ   θ   d θ = 81 8 ∫ θ   ( θ )   - 1 d θ

Expandindo o produto, obtemos duas integrais da seguinte forma:

81 8 ∫ ( θ )   d θ - 81 8 ∫ ( θ )   d θ

Para resolver estas integrais vamos precisar usar uma fórmula de redução para a secante! Saca só!

Passo 6

Temos que utilizar a seguinte fórmula:

∫ ( θ )   d θ = s i n s i n   ( θ )   ( θ )   m - 1 + m - 2 m - 1 ∫ ( θ )   d θ

De forma que temos:

∫ ( θ )   d θ = s i n s i n   θ   ( θ )   4 + 3 4 ∫ ( θ )   d θ = t a n t a n   ( θ )   ( θ )   4 + 3 4 ∫ ( θ )   d θ

O que nos permite escrever:

81 32 t a n t a n   θ   θ   + 243 32 ∫ ( θ )   d θ - 81 8 ∫ θ   d θ = 81 32 t a n t a n   θ   θ   - 81 32 ∫ ( θ )   d θ

Vamos ter que aplicar a fórmula de redução novamente! Bora lá!

Passo 7

Temos então que:

∫ ( θ )   d θ = s i n s i n   ( θ )   ( θ )   2 + 1 2 ∫ s e c s e c   ( θ )   d θ

De forma que:

81 32 t a n t a n   θ   θ   - 81 32 ∫ θ   d θ = 81 32 t a n t a n   θ   θ   - 81 64 s i n s i n   θ   θ   - 81 64 ∫ s e c s e c   ( θ )   d θ

Você lembra qual a primitiva de uma função s e c s e c   ( θ )   ? É possível demonstrar utilizando algumas identidades trigonométricas! Mas, para este exercício vamos focar em obter o resultado de nossa integral original! Vamos lá!

Passo 8

A primitiva é tal que:

∫ s e c s e c   ( θ )   d θ = l n l n   ( t a n t a n   θ   + s e c s e c   ( θ )   )   + C

De forma que a nossa solução toma a forma:

81 32 t a n t a n   θ   θ   - 81 64 t a n t a n   θ   s e c s e c   θ   - 81 64 l n l n   t a n t a n   θ   + s e c s e c   θ     + C

Agora só falta voltar para as coordenadas originais! Saca só!

Passo 9

Nós definimos que x = ( θ )   e, portanto:

x 3 / 2 = 1 c o s c o s   θ   = h i p o t e n u s a c a t e t o   a d j a c e n t e

De forma que em um triângulo retângulo, temos que h i p o t e n u s a = x e c a t e t o   a d j a c e n t e = 3 / 2 . Para encontramos quem é t a n t a n   ( θ )   = s i n s i n   θ   / c o s c o s   ( θ )   , precisamos do cateto oposto, que pode ser obtido utilizando Pitágoras! Da seguinte forma:

h 2 = a 2 + b 2 → x 2 - 9 4 = b 2 → b = x 2 - 9 / 4

Temos então:

t a n t a n   ( θ )   = s i n s i n   θ   c o s c o s   θ   = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = x 2 - 9 / 4 3 / 2

E a nossa solução final é a seguinte:

∫ x 2 4 x 2 - 9 d x = 81 32 2 3 x 2 - 9 4 2 3 3 x 3 - 81 64 2 3 x 2 - 9 4 2 3 x - 81 64 l n l n   2 3 x 2 - 9 4 + 2 3 x     + C

Simplificando as frações, temos:

∫ x 2 4 x 2 - 9 d x = 1 2 x 2 - 9 4 x 3 - 81 144 x 2 - 9 4 x - 81 64 l n l n   2 3 x 2 - 9 4 + 2 3 x     + C

Uff... essa alternativa acabou! Bora para a próxima!!! Até já!

Resposta

∫ x 2 4 x 2 - 9 d x = 1 2 x 2 - 9 4 x 3 - 81 144 x 2 - 9 4 x - 81 64 l n l n   2 3 x 2 - 9 4 + 2 3 x     + C

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x