Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

a )   ∫ 2 - x d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão parece assustadora, mas se formos com calma, as coisas vão dar certo! Vamos precisar fazer uma pequena substituição simples inicialmente e então tentar uma integração por partes, de forma que possamos identificar uma primitiva para a nossa integral! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição simples da forma:

u = x           e           d u = 1 2 x d x = 1 2 u d x → d x = 2 u d u

Isso deixa o nosso integrando da seguinte forma:

2 ∫ 2 - u u   d u

Ela não está em um formato adequado para nenhum método conhecido! Então, como um bom integrador diria, na dúvida, tente por partes! Vamos fazer isso!

Passo 3

Vamos escolher como nosso u ' = u de forma que temos d u ' = d u e vamos escolher um d v = 2 - u d u . Vamos achar nosso v , temos que:

v = ∫ 2 - u d u

Nós temos que integrais da forma:

∫ 2 x d x = 2 x ln ⁡ ( 2 )

Se identificarmos x =   - u , temos que:

v = ∫ 2 - u d u = - 2 - u ln ⁡ ( 2 )

Vamos voltar a nossa integral original agora! Beleza?

Passo 4

Precisamos utilizar os valores de u ' ,   d u '   e v , na seguinte fórmulinha:

∫ u ' d v = u ' v - ∫ v d u '

Obtemos então que:

∫ 2 - u u d u = - u 2 - u ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 2 ∫ 2 - u d u

Já resolvemos uma integral como essa que restou! Temos então que:

∫ 2 - u u d u = - u 2 - u ln ⁡ 2 - 2 - u ln ⁡ 2 2

Estamos quase lá! Falta apenas reescrever algumas coisinhas!

Passo 5

Colocando de volta em nossa integral original, temos que:

2 ∫ 2 - u u   d u = - 2 1 - u ln ⁡ 2 u + 1 ln ⁡ 2 + C

Que em nossa variável original, toma a forma:

∫ 2 - x d x = - 2 1 - x ln ⁡ 2 x + 1 ln ⁡ 2 + C

A primeira alternativa foi! Bora para a próxima!

Resposta

∫ 2 - x d x = - 2 1 - x ln ⁡ 2 x + 1 ln ⁡ 2 + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x