Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

c )   ∫ e 4 t e 2 t - 1 3 d t

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

Vamos começar esta alternativa observando uma coisa! Se lembrar da seguinte propriedade da exponencial:

a b a c = a b + c

Nós podemos reescrever o nosso integrando! Mas para quê? Porquê isso vai possibilitar que encontremos uma substituição simples! Saca só!

Passo 2

Vamos aplicar a propriedade que eu falei no passo 1, temos que:

∫ e 4 t e 2 t - 1 3 d t = ∫ e 2 t e 2 t e 2 t - 1 3 d t

Isso é bom para nós porque agora podemos fazer a seguinte substituição:

u = e 2 t - 1         e           d u   = 2 e 2 t d t → e 2 t d t = 1 2 d u             ( 1 )

Fica esperto que utilizei a derivada da exponencial ali! Qualquer coisa dá uma revisada nisso, beleza?

Passo 3

Aplicando a substituição, temos:

∫ e 2 t e 2 t e 2 t - 1 3 d t = ∫ u + 1 u 3 1 2 d u = 1 2 ∫ 1 u 2 d u + 1 2 ∫ 1 u 3 d u             ( 2 )

Saca só que aqui eu usei a equação (1), e eu identifiquei que e 2 t = 1 + u . Bora agora relembrar algumas integrais!

Passo 4

Temos a seguinte integral que seria bom você deixar anotado em um lugar bem visível, essa daqui:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Em nosso caso temos duas integrais, uma com n = - 2 e outra com n = - 3 . Vamos fazer cada uma delas!

Passo 5

Primeiro a integral com n = - 2 , temos:

∫ 1 u 2 d u = ∫ u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - u - 1 + C 1

E para n = - 3 , temos:

∫ 1 u 3 d u = ∫ u - 3 d u = u - 3 + 1 - 3 + 1 + C = - u - 2 2 + C 2

Só falta substituir na equação (2), bora lá!

Passo 6

Voltando na equação (2), temos:

1 2 ∫ 1 u 2 d u + 1 2 ∫ 1 u 3 d u = 1 2 - 1 u + 1 2 - 1 2 u 2 + C 3

Aqui temos que C 3 é uma combinação das constantes C 1 e C 2 . Reescrevendo um pouquinho esta resposta, temos:

1 2 - 1 u + 1 2 - 1 2 u 2 + C 3 = - 1 2 1 u + 1 2 u 2 + C 3 = - 1 4 u 2 1 + 2 u + C 3  

Vamos apenas voltar para a nossa variável original, belezinha?

Passo 7

Se lembrarmos que u = e 2 t - 1 , temos que:

∫ e 4 t e 2 t - 1 3 d t = - 1 4 e 2 t - 1 2 1 + 2 e 2 t - 1 + C 3 = - 1 4 e 2 t - 1 2 e 2 t - 1 + C 3

Essa alternativa foi! Bora para a próxima!

Resposta

∫ e 4 t e 2 t - 1 3 d t = - 1 4 e 2 t - 1 2 e 2 t - 1 + C 3

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