Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

d )   ∫ x 3 x 2 + 16 d x

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora fazer mais uma!

Vamos reescrever um pouquinho o nosso integrando antes de dizer a forma como iremos trabalhar, temos:

∫ x 3 x 2 + 16 d x = ∫ x 2 x x 2 + 16 d x  

Essa separação é interessante porque agora podemos identificar uma substituição simples! E é isso que vamos tentar fazer! Conseguiu ver? Bora lá!

Passo 2

Se fizermos a substituição:

u = x 2 + 16       e         d u = 2 x d x → x d x = 1 2 d u           ( 1 )

Note que temos que x 2 = u - 16 , portanto:

∫ x 2 x x 2 + 16 d x   = ∫ u - 16 u 1 2 d u = 1 2 ∫ u u d u - 16 2 ∫ d u u   = 1 2 ∫ u 1 2 d u - 8 ∫ u - 1 2 d u           ( 2 )

Agora podemos identificar as nossas integrais! Bora lá!

Passo 3

Temos a seguinte integral que seria bom você deixar anotado em um lugar bem visível, essa daqui:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Em nosso caso temos duas integrais, uma com n = 1 / 2 e outra com n = - 1 / 2 . Vamos fazer cada uma delas!

Passo 4

Primeiro a integral com n = 1 / 2 , temos:

∫ u 1 / 2 d u = u 1 / 2 + 1 1 / 2 + 1 + C 1 = u 3 2 3 / 2 + C 1 = 2 3 u 3 / 2 + C 1

E para n = - 1 / 2 , temos:

∫ u - 1 / 2 d u = ∫ u - 1 / 2 d u = u - 1 / 2 + 1 - 1 / 2 + 1 + C 2 = u 1 / 2 1 / 2 + C 2 = 2 u 1 / 2 + C 2

Só falta substituir na equação (2), bora lá!

Passo 5

Voltando na equação (2), temos:

1 2 ∫ u 1 2 d u - 8 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 2 3 u 3 2 - 8 2 u 1 2 + C 3 = 1 3 u 3 2 - 16 u 1 2 + C 3

Voltando para a variável original, uma vez que u = x 2 + 16 , temos:

∫ x 3 x 2 + 16 d x = 1 3 x 2 + 16 3 / 2 - 16 x 2 + 16 1 / 2 + C 3

A alternativa é isso! Bora Bora para a próxima!!

Resposta

∫ x 3 x 2 + 16 d x = 1 3 x 2 + 16 3 / 2 - 16 x 2 + 16 1 / 2 + C 3

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x